Távoktatás: Gúlák és hasábok áthatása (2. feladat)

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.
• A gúla alaplappal párhuzamos metszetei egymáshoz hasonlóak, ha a metsző sík az alaphoz van közelebb, akkor a metszet nagyobb, ha a csúcsponthoz van közelebb, akkor a metszet egyre kisebb. 
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.

Emlékeztetőül a tevékenységlista:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Szükségesek:

• Diasor pdf-ben 13-22. oldalak
• Munkafüzet 40-42. oldala

Bevezetésként először egy hasonló feladatot mutatok. A gúla álló helyzetben van, a hasáb pedig olyan fekvő helyzetben, ahol az oldalélek merőlegesek a 2. képsíkra.Ha jobban megnézzük a 2. képet, akkor látszik, hogy a hasáb 1-es éle és a gúla MB éle nem metsz a másik testbe. A gúla MA és MC élei két-két helyen metszik a hasáb lapjait, ezeket jelölik a kék nyilak. A hasáb 2-es és 3-as  élei most pontoknak látszódnak, pedig egyenesek, melyek átszúrják a gúlát, és így ezeken is két-két metszéspont lesz.

Táblai vázlatot mutatok, hogy lássuk, milyen módszerekkel kapjuk a pontokat. A legkönnyebben leolvasható pontok a korábban kék nyíllal jelölt D, E, F, G pontok (vetítősíkés egyenes metszése!), az 1. képeik rendezővel szerkeszthetők.
A 2-es egyenessel való metszéshez kell a gúla egyenes magasságában lévő metszete. Ezt szimbolizálja az x12-vel párhuzamos vonal, de az 1.képe is kell, amely a sarokpontok levetítésével rajzolható meg. Figyelje a szaggatott, kissé kanyargós rendezőt! Emlékezzen vissza arra, hogy a gúla alaplapjával párhuzamos metszetei egymáshoz hasonlóak!
De mi is van akkor ebben a magasságban? A gúlából egy metszet, a hasábból egy oldalél. Ezek közös pontjai kijelölhetők az 1. képen, így kapjuk a H és I pontokat. Ezeknek közös a 2. képe!

A J, K pontok szerkeszthetők az előbbi módszerrel is, de amikor ezt fotóztam, akkor a csoport azt választotta, hogy ha már tudjuk a pontok közös 2. képeit akkor kössük össze a gúla M csúcspontjával. Ezeknek a vonalaknak a gúla felszínén kell haladniuk. És amikor az 1.képeket megrajzoljuk, akkor a J' és K' pontokban metszik a 3-as egyenest.
Az összekötésről:
Az E, G, J és K pontok vannak legmagasabban a hasáb 1-3-as lapján. Ha a gúla körül járását is figyelembe vesszük, akkor a sorrendjük: KGEJ.
A D, F, H és  I pontok vannak a a bal alsó részen, a hasáb 1-2-es lapján. Ha a gúla körül járását vesszük, akkor a sorrendjük: IFDH.
Ezt a két részletet kell még összekötni az MAB és az MBC lapok közepén.

Ez a következő fotó ugyanezt a feladatot mutatja, csak egy másik évből, más jelölésekkel. Ami miatt most megmutatom, az az, hogy jól látszik, hogy haa hasábot eltávolítjuk, akkor a baloldalon megváltozik a gúla kontúrja, mert a közös részt a hasáb elviszi onnan. A narancs lap az MAB lap maradványa, a kék az 1-2-es hasáblapé, a sárga a 2-3-as hasáblapé. Ez utóbbi kettő csatlakozására a hiányok miatt rá is látunk.

Visszatérve a feladatunkhoz először nézzük, hogy mi a teendő. Az előzö helyzethez képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

 További segédanyag

• Szemléltető videók a blog Szemléltető videók oldalán találhatóak.
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva