12. hét - Forgásfelületek áthatása 2.

A heti tananyag rövid összegfoglalása: 

Ezen a héten a forgásfelületek áthatásának szerkesztését folytatjuk. A módszerek és ötletek attól függenek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el. Erre a hétre már csak a metsző- és kitérő helyzetű forgásfelületek esete maradt.

Egyenlő sugarú, metsző tengelyű hengerek áthatása

11. hét - Forgásfelületek áthatása I.

A heti tananyag rövid összegfoglalása: 

A korábbi hetekben megismerkedtünk a forgásfelületekkel, és azok síkmetszeteivel. A gömbnek, kúpnak és hengernek jól megnevezhető, leírható metszetei vannak, ezek ismertebb formák. A tórusz esetében már nem nevezhetők meg ilyen módon a metszetek, de minden esetben bevált módszer volt a felülete és a metsző sík közös szeletelése a forgástengelyre merőlegesen.

Ezen a héten a forgásfelületek áthatásának szerkesztésével foglalkozunk. A módszerek és ötletek attól függenek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.
A tengelyek lehetnek:

• Egybeesők
• Párhuzamosak
• Metszők
• Kitérők

10. hét - Kúp és henger síkmetszete

A heti tananyag rövid összefoglalása: 

Ezen a héten folytatjuk a forgásfelületek síkkal való metszését, de most csak a kúp és henger metszése lesz a feladatunk.
A forgástengelyt továbbra is a K1 képsíkra merőlegesen fogjuk felvenni.
Használható módszereink:

• Szeletelő módszer
• Transzformációs módszer (A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát.)

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

9. hét - Gömb és tórusz metszése síkkal

A heti tananyag rövid összefoglalása: 

Ezen a héten folytatjuk a forgásfelületekkel való ismerkedést, de ezen a héten a síkkal való metszésre fókuszálunk. Továbbra is a forgástengelyt a K1 képsíkra merőlegesen fogjuk felvenni.

Megismerkedünk az ún. szeletelő módszerrel, amelynek az lesz a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők.

Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Egy másik módszer lehet az, hogy a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk.  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Ha már a tóruszról is tanultunk...

... akkor íme egy igen jól sikerült alkotás, amely a tórusz deformálásával készült:

A Steiner Chain Trapped Inside Two Sets of Villarceau Circles

60 x 80 cm

Digital print on cardboard

2015

Forrás: http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2016-joint-mathematics-meetings/fdecomite

Készítője: Francesco De Comité
Associate Professor of Computer Science
Computer Science Department, Univeristy of Lille, France
Lille, France
A kép nem fotó, hanem szoftverrel generált megjelenítés. A formák modellezése után után a használt anyagnak megfelelő textúrázás történt,  majd a környezeti fények és a megvilágítás beállítása, majd hosszú számolások eredményeként született meg.


Az általunk tanult tórusz annyiban tér el ettől, hogy minden gömb egyenlő sugarú, és így a körülöttük tekergő fémszálak egyenletesen köveik egymást.
Kérdés:
Milyen formájúak ezek a fémszálak?

Forog a, forog a ....

Ha már a forgásfelületekről tanultunk, akkor íme egy igazi gyöngyszem.
Lássunk egy képet a Csodák Palotájából:

A játék neve: Egyenesen át.
Adott egy plexilapon  egy hiperbola alakú lyuk, és a rudat át kell juttatni rajta úgy, hogy a  rúd végén lévő alsó gömb az alsó kerek lyukon, a felső a felső lyukon menjen át. Nem ér az egész rudat az egyik lyukon simán átdugni. A lényeg, hogy az eszköz ezt biztosítja is, a rúd szépen  forog körbe-körbe és mindig áthalad a hiperbolán.


De mit is kapunk a forgás során?

7. hét - Forgásfelületek ábrázolása, metszésük egyenessel

A heti tananyag rövid összefoglalása: 

Ezen a héten megismerkedünk a forgásfelületek előállításával. Csak speciális felületekről tanulunk: henger, kúp, gömb és tórusz.