2019. május 5., vasárnap

2019. május 4., szombat

Szemléltetés a boltozatszerkesztéshez

A boltozatok szerkesztésekor ismét használtuk az következő módszert:
A félhenger záró félkör-lapját beforgattuk vízszintes helyzetbe, hogy egy adott magasságban lévő alkotó helyét könnyebben megkereshessük.
Akkor említettem, hogy ez olyan, mint  a fóliasátrak esetén szellőztetéskor használt "ajtó":
Forrás: http://ezermester.hu/cikk-5981/Foliasator
 Sajnos ennél nagyobb méretű képet nem találtam.

2019. május 3., péntek

Boltozatok

Ezen a héten a boltozatszerkesztés témakörében hengereket és gömböket használunk különböző terek lefedésére.  A legegyszerűbb a téglalap alakú terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh- és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok kialakításához. Gyakorlaton a szabálytalan terek lefedésével és különböző szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozunk.

A félgömbből síkmetszéssel nyert boltozatok:
Cseh boltozatCseh süvegboltozatCsegelyes kupola

Hengerből áthatással nyert boltozatok:
KeresztboltozatKolostorboltozat

Letölthető anyagok

Megoldott feladatok:
Táblakép (2014) rövid kiegészítéssel:


Az ívek fontos pontjai a kezdő- és végpontok, illetve a felezési pont.
Pl.: Az 567 ív esetén az 5'7' szakasz egy félkör alakú homlokív vetülete, azaz egy átmérő hosszúságú vetület. Ennek a fele az ív sugara (kapcsos zárójel). Az 5" és 7" rendezővel jelölhető ki az ax12-n,  a 6" a rendezőn sugárnyi magasan van (kapcsos zárójel).
B, J kontúrpontok: Itt a térben a K2-vel párhuzamos főkör felső fele és az 567, 781 ívek metszik egymást. (mindhárom kör függőleges síkban van)  A közös pontok az első képen a B', J' kijelölhetők, a második képen rendezőkkel adhatók meg. A B" és J" pontokban a félellipszisek és a félkör érintkezni fognak.
A táblaképen az 187 homlokívet a képsíkba forgattunk azzal a céllal, hogy az ív további pontjait meg tudjuk határozni a 2. képen. Kijelölünk egy magasságot (kék kettős nyíl) a forgatott képen egy 8'1'-vel párhuzamos egyenessel, ez az egyenes a forgatott kört P-ben és Q-ban metszi. P', Q' merőleges állítással, P" Q" a rendezőn a választott magasságban (kék kettős nyíl) szerkeszthető.





Táblakép 2015-ből egy ív beforgatásával:
Egy kis konyhai szemléltetés:


További segédanyag: 

2019. május 2., csütörtök

Forgásfelületek áthatása

Letölthető anyagok:

 
Ezen a héten a forgásfelületek áthatásának szerkesztésével foglalkozunk. A módszerek és ötletek attól függenek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.
A tengelyek lehetnek:
  • Egybeesők
  • Párhuzamosak
  • Metszők
  • Kitérők

Egybeeső tengelyek esetén a felületek  paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó kört (köröket).









 

Párhuzamos tengelyek esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek. Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban megmutassák az áthatási görbe formáját. 
Az áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban, legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletősíkokkal tudjuk meghatározni.









  •  Segédábrák:
A modellA felületek kikapcsolva, csak a kontúrok,
perem, és az áthatási görbe látszik.

Alulról beleláthatunk a modell belsejébe
(üreges modell)
A szeletelés egy lépése: mindkét testből paralel kört metszünk, ezek közös pontjai az áthatási görbe két pontját adják.
  • További képek a feladat modelljéről

Egyenlő sugarú, metsző tengelyű hengerek áthatása
Különböző sugarú, metsző tengelyű hengerek áthatása

Metsző tengelyek esetén a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Ezzel párhuzamosan szeletelni csak akkor érdemes, ha a felületekből  könnyen rajzolható metszeteket kapunk. Pl. hengerek esetén alkotópárokat.

Egyenlő sugarú, metsző tengelyű hengerek, a szeletelés egy lépése

Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is. Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk. Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők.
Minden más esetben az ún. segédgömbös módszert érdemes alkalmazni. Ennél a módszernél a forgástengelyek metszéspontja, mint középpont körül olyan gömböket írunk, melyek mindkét felületbe belemetszenek. Ha a gömböt és az egyik felületet vesszük, akkor azok, mint közös tengely felületek paralel körökben metszik egymást. Ugyan ez érvényes a másik felület és a gömb vonatkozásában. Egy ilyen gömbön a különböző állású paralel körök közös pontjai  kijelölhetők. Ezek a pontok a keresett áthatási görbe közös pontjai is lesznek.

Kitérő tengelyek esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni, de természetesen lehetnek kivételek. Nálunk az egyik felület mindig egy fekvő henger lesz, a másik felület függőleges tengelyű kúp.
A szerkesztést megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk.
Az animált gif elérhető: http://abris.pe.hu/kup_henger_gif.html

További segédanyag:

  • Itt a szerkesztés lépései jobban látszanak:
  •  

2019. április 30., kedd

Forgásfelületek metszése síkkal

Ezen a héten folytatjuk a forgásfelületekkel való ismerkedést, de most a síkkal való metszésre fókuszálunk. Továbbra is a forgástengelyt a K1 képsíkra merőlegesen fogjuk felvenni.

Letölthető anyagok:

 Megismerkedünk az ún. szeletelő módszerrel, amelynek az lesz a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze. Egy másik módszer lehet az, hogy a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk.  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).
 Minden metszet esetén keressük a
  • legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
  • a kontúrokon lévő pontokat
  • a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
  • és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Tehát a használható módszereink:
  • Szeletelő módszer
  • Transzformációs módszer (A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát.)
A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.
Minden metszet esetén keressük a
  • legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat
  • a kontúrokon lévő pontokat
  • a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
  • és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Gömb metszete:
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek, vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.


Kúp metszete:
Forrás: Wikipédia

A kúp metszetei csúcspontra nem illeszkedő síkkal metszve:
  • kör (a forgástengelyre merőleges síkkal), 
  • ellipszis (minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal), 
  • parabola (egy alkotóval párhuzamos síkkal), 
  • hiperbola (két alkotóval párhuzamos síkkal)
Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk.

 A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:


Henger metszete:
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz.
Tórusz metszete:
A tórusszal idő hiányában nem tudunk majd foglalkozni, de érdemes megemlíteni, hogy a metszetei negyedrendű görbék, melyek különböző alakúak lehetnek: "ovális", "piskóta", nyolcas vagy két kör is lehet:

A fenti animált ábrák forrása:
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/torus-przek-2.gif
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif
(A könnyebb tanulmányozás érdekében kattintson a linkre és csak az jelenik meg a böngészőben!)

További segédanyag: