A blog nyári szünetet tart, legközelebb szeptemberben lesznek új bejegyzések az új hallgatóim számára.
Eredményes vizsgaidőszakot és kellemes nyarat kívánok!Ábrázoló geometriát tanítok
2024. május 31., péntek
2024. április 22., hétfő
Boltozatok szerkesztése (2024)
Az utolsó témánk a boltozatszerkesztés, melyben hengereket és gömböket
használunk különböző terek lefedésére. A legegyszerűbb a téglalap alakú
terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület
lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh-
és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és
kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok
kialakításához.Szabálytalan terek lefedésével és különböző
szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozhatunk.
A félgömbből síkmetszéssel nyert boltozatok:
![]() |
![]() |
![]() |
Cseh boltozat | Cseh süvegboltozat | Csegelyes kupola |
Hengerből áthatással nyert boltozatok:
Keresztboltozat | Kolostorboltozat |
Szükségesek:
-
Diasor
- Munkafüzet2024 66. oldalától a végéig
Szemléltető videók:
További segédanyag:
- Hallgatói munkák
- A GeomTech3D projekt keretében készült segédanyag (a szöveg horvát nyelvű, de az ábrák szemléletesek.)
- A dongaboltozatok áthatásával keletkező boltozat szerkesztésének lépései táblaképek alapján
- Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
- Boltozat szemléltetése naranccsal
2024. április 17., szerda
Forgásfelületek áthatása (2024)
Letölthető anyagok:
- Diasor 11 és Diasor 12
- A vetített diasorban szereplő animált ábra: kúp és henger áthatása
- Munkafüzet2024 56-65. oldalai
Az áthatásszerkesztés módszerei és ötletei attól függhetnek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.
1. Egybeeső tengelyek
esetén a felületek paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék
közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó
kört (köröket).(Lásd Mf. 56. oldala)
2. Párhuzamos tengelyek
esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy
ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre
rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek.
Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban
megmutassák az áthatási görbe formáját. (Lásd 57-61. oldalak)
Az
áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban,
legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös
szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletelősíkokkal
tudjuk meghatározni. Ilyen helyzetet szemléltet az alábbi videó, amely
59. oldal feladatának a modelljén mutatja be a szeletelő eljárást.
A bal oldali ábra a modellt, a jobb oldalin a felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik:
3. Metsző helyzetű tengelyek
esetében olyan példákat fogunk látni, ahol a tengelyek merőlegesek egymásra. Miért jó ez? Ez egy igen
fontos könnyítés egy álló forgásfelület és egy fekvő helyzetű henger esetén, mert így hengert vízszintes
síkokkal könnyen tudjuk alkotókban metszeni.
A módszerünk:
Ez a két henger egyenlő sugarú és a tengelyeik metsző helyzetben vannak. Alapban bárhogy elhelyezkedhetnek a térben, ezeken a képeken "fekvő" helyzetben vannak. Vagyis így, ahogy vannak, le lehet tenni őket az asztalra és egy lappal le lehet fedni őket. A geometria nyelvén ez azt jelenti, hogy alulról és felülről ugyanaz a síkpár érinti mindkét hengert → a legalsó és a legfelső alkotók metszéspontjaiban a hengerek érintik egymást, és az áthatási vonal szétesik két ellipszisre. Ezek vonala a fenti képeken nagyon szépen kirajzolódik. Az ellipszisek síkjai egymásra merőlegesek, felülről nézve X-et formáznak. Ezzel a helyezettel még fogunk találkozni a Boltozatok témánál.
Ha az előbbi helyzeten csak annyit változtatunk, hogy csökkentjük a sugarát, akkor a fentebb említett érintkezést alul is és felül is elrontjuk. Egyszerűen a sárga henger vastagabb, a szürke vékonyabb és csak amiatt marad meg a levegőben, mert átdugtuk a sárga hengeren.
Ilyenkor az áthatásvonala két különálló zárt vonalból áll. Ezek szimmetrikusan helyezkednek el és kb olyasmi tekeredésük van, mint a Pringles csipsz peremének.
A PEREMet kell figyelni, és nem a csipsz felületét! A lényeg, hajlása van felfelé és lefelé is.
Hogyan érdemes szeletelni?
Az előbbi esetekben a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Egy ilyen szeletelő síkban a hengerekből egy-egy alkotópárt találunk, melyek összesen 4 metszéspontot határoznak meg.
Vagyis a teendő: minél többször felvenni ilyen szeletelő síkot és négyesével megszerkeszteni a pontokat. Gyors és egyszerű eljárás! A munkafüzet 62. oldalán a vastagabb henger álló helyzetben van és a vékonyabb vízszintesen fúrja át. Ez azt jelenti, hogy ott a szeletelősíkjaink függőleges helyzetűek leszek, egészen pontosan a K2-vel párhuzamosak.
4. Kitérő helyzetű tengelyek
Ha a tengelyeket a metsző helyzetből elmozdítjuk, akkor kitérő tengelyeket kapunk.
Kitérő tengelyek
esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni.
Ebben a szemléltető példában egy
fekvő henger és függőleges tengelyű kúp került áthatásra. A szerkesztést
megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk. És ebben a
helyzetben a szeletelést vízszintes síkokkal érdemes elvégezni, mert
akkor a kúpból kimetszett kört két hengeralkotóval kell összemetszeni.
A 65. oldal feladatában a henger a K2 képsíkra merőleges, így nem kell transzformálni.
További segédanyag:
- Részlet Pethes Endre: 222 ábrázoló geometria feladat c. könyvéből. (XI. fejezet)
- gyakorló feladatok
- Illetve a jobb oldalon ajánlott irodalomból az Ábrázoló geometria szemléletesen című könyv megfelelő fejezete
- hallgatói munkák
- Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
- A blog vendégposztjai közül: Hengerek áthatása és Kúpok és hengerek áthatása
2024. április 7., vasárnap
Gömb és tórusz metszése síkkal (2024)
Letölthető anyagok:
- Diasor a gömb metszéséről + Diasor a tórusz metszéséről
- Munkafüzet2024 51. és 55. oldalai
Emlékeztető a gömb metszetei kapcsán:
- A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.
- A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk (Lásd itt). Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.
- Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.
Gömb metszete általános helyzetben:
A
legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík
vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén
keressük a
- legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
- a kontúrokon lévő pontokat
- a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
- és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)
Tórusz metszetei :
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy
előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy
azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a
legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt
alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös",
mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis
két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az
alsó körre is. (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)
Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)
- http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/torus-przek-2.gif
- http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Villarceau_circles.gif
- http://momath.org/wp-content/uploads/bagel-circles-3.jpg
További segédanyag:
- Gömbmetszetek sora (órán szerepelt)
- Táblaképek egy szerkesztésről (2016): Tórusz metszése síkkal
- Hallgatói munkák (több szkennelt ábra, tórusz metszése különböző állású síkokkal)
- Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
- Gömb-modell készítése: https://papercraftetc.blogspot.com/2015/03/super-pi-day-ball.html
- Tórusz-modell készítése: https://papercraftetc.blogspot.com/2013/07/sliceforms-are-my-new-obsession.html
2024. március 29., péntek
Kúp és henger metszése síkkal (2024)
Letölthető anyagok:
- Diasor pdf-ben
- Munkafüzet2024 52-54. oldalak
- Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:
- Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
- Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
- Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
- Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.
Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére
merőleges síkkal metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a
felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a
kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők.
Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.
Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk,
és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát! Ebben a speciális
oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet
legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen
általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a
henger és a kúp esetén).
Milyen pontokat keresünk?
- legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
- a kontúrokon lévő pontokat
- a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
- és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:![]() |
Forrás: Wikipédia |
A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:
- KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
- ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
- PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
- HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal
Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a
palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók
hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani.
Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a
hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az
alábbi animált ábra:
Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:
Henger metszete:
![]() |
Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/ |
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.
Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:
További segédanyagok:
- Gyakorlat 2020-ból
- Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz