Síklapú testek áthatása (3.rész)

Elérkeztünk az utolsó feladattípushoz. Erre tökéletes példa az ábrán létható feladat, melyen egy alkalmasan jól választott oldalnézet segíti a szerkesztést. A hasáb a IV-es képen kerül vetítő helyzetbe, és arról a képről lehet indítani a szerkesztést. A 2. kép szinte szerkesztő vonalaktól mentes marad.  Vagyis, már új dolgot nem tanulunk, hanem kombináljuk az eddigi szerkesztéseket!

 

(Forrás:bme.hu)

 

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet 42.-43. oldala

 

Síklapú testek áthatása (2.rész)

Ezen a héten  két feladattal fogunk foglalkozni. 

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet 36.-41. oldala
• Segédábrákból az 5.-7. oldala

Az első feladat teendőit mutatom be részletesebben. A hasáb bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

 

 A 2. feladathoz egy kis segítség:

A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 12 oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!

• Képek az egyik feladat modelljéről és újabb képek egy kis rajzolgatással kiegészítve.

Síklapú testek áthatása (1. rész)

Ezen a héten hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei képsíkra merőleges helyzetűek.
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle beletud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábéle metszi a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a felső ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (frissítve: 2020. 11. 11., 16:30)
• Bevezető mintafeladathoz feladatlap
• Munkafüzet 33-35. oldala 

Instrukciók:

• A könnyen észrevehető pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

•  Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így 

vagy így:

• De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy  vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
• Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

 

• A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 33. oldala.

 

• A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek.  Egyet mutatok mintaként:

További segédanyag

• Szemléltető videók a blog Szemléltető videók oldalán találhatóak.
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva
• Forgatható ábra 1.
• Forgatható ábra 2.
• Forgatható ábra 3.
• Forgatható ábra 4.