Távoktatás: Gúlák és hasábok áthatása (4. feladat)

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Transzformáció, mellyel elérhető, hogy egy hasáb élei (oldallapjai) az új képsíkra merőegesek legyenek. Ebben az új nézetben eldönthető, hogy hány pont határozza meg az áthatási töröttvonalat.
  
• Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Szükségesek:

• Diasor-ben 33-44. oldalak
• Munkafüzet 46-47. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A 4. feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket nem részletezném, mert ezt még hagyományosan tanultuk. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a diasorban a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Hasonló feladat:

• Egy feladat megoldása, ahol a test lapjai színesek
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken:

Távoktatás: Gúlák és hasábok áthatása (3. feladat)

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
• Sík és vetítő helyzetű egyenes metszéspontja. A metszéspont  azon képen látszik, ahol az egyenes pontként látszik. A metszéspont másik képe a pont síkra történő illesztésével valósítható meg. Ehhez kell egy olyan egyenes, amely áthalad a ponton és illeszkedik a síkra.
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Szükségesek:

• Diasor-ben 23-32. oldalak
• Munkafüzet 42-45. oldala

Tevékenységlista erre a feladatra megfogalmazva:

• A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

• Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 12 oldallapját
balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

További segítség:

• Képek az egyik feladat modelljéről és újabb képek egy kis rajzolgatással kiegészítve.

• Solidworks-ben készült modell  (tabló, 3 oldalon, különböző helyzetekben mutatja a egyesítést, az egyik hasáb eltávolítását, és a közös részt.)

• Megoldott feladat, amely nagyon hasonlít a mostanihoz:

Távoktatás: Gúlák és hasábok áthatása (2. feladat)

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.
• A gúla alaplappal párhuzamos metszetei egymáshoz hasonlóak, ha a metsző sík az alaphoz van közelebb, akkor a metszet nagyobb, ha a csúcsponthoz van közelebb, akkor a metszet egyre kisebb. 
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.

Emlékeztetőül a tevékenységlista:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Szükségesek:

• Diasor pdf-ben 13-22. oldalak
• Munkafüzet 40-42. oldala

Bevezetésként először egy hasonló feladatot mutatok. A gúla álló helyzetben van, a hasáb pedig olyan fekvő helyzetben, ahol az oldalélek merőlegesek a 2. képsíkra.Ha jobban megnézzük a 2. képet, akkor látszik, hogy a hasáb 1-es éle és a gúla MB éle nem metsz a másik testbe. A gúla MA és MC élei két-két helyen metszik a hasáb lapjait, ezeket jelölik a kék nyilak. A hasáb 2-es és 3-as  élei most pontoknak látszódnak, pedig egyenesek, melyek átszúrják a gúlát, és így ezeken is két-két metszéspont lesz.

Táblai vázlatot mutatok, hogy lássuk, milyen módszerekkel kapjuk a pontokat. A legkönnyebben leolvasható pontok a korábban kék nyíllal jelölt D, E, F, G pontok (vetítősíkés egyenes metszése!), az 1. képeik rendezővel szerkeszthetők.
A 2-es egyenessel való metszéshez kell a gúla egyenes magasságában lévő metszete. Ezt szimbolizálja az x12-vel párhuzamos vonal, de az 1.képe is kell, amely a sarokpontok levetítésével rajzolható meg. Figyelje a szaggatott, kissé kanyargós rendezőt! Emlékezzen vissza arra, hogy a gúla alaplapjával párhuzamos metszetei egymáshoz hasonlóak!
De mi is van akkor ebben a magasságban? A gúlából egy metszet, a hasábból egy oldalél. Ezek közös pontjai kijelölhetők az 1. képen, így kapjuk a H és I pontokat. Ezeknek közös a 2. képe!

A J, K pontok szerkeszthetők az előbbi módszerrel is, de amikor ezt fotóztam, akkor a csoport azt választotta, hogy ha már tudjuk a pontok közös 2. képeit akkor kössük össze a gúla M csúcspontjával. Ezeknek a vonalaknak a gúla felszínén kell haladniuk. És amikor az 1.képeket megrajzoljuk, akkor a J' és K' pontokban metszik a 3-as egyenest.
Az összekötésről:
Az E, G, J és K pontok vannak legmagasabban a hasáb 1-3-as lapján. Ha a gúla körül járását is figyelembe vesszük, akkor a sorrendjük: KGEJ.
A D, F, H és  I pontok vannak a a bal alsó részen, a hasáb 1-2-es lapján. Ha a gúla körül járását vesszük, akkor a sorrendjük: IFDH.
Ezt a két részletet kell még összekötni az MAB és az MBC lapok közepén.

Ez a következő fotó ugyanezt a feladatot mutatja, csak egy másik évből, más jelölésekkel. Ami miatt most megmutatom, az az, hogy jól látszik, hogy haa hasábot eltávolítjuk, akkor a baloldalon megváltozik a gúla kontúrja, mert a közös részt a hasáb elviszi onnan. A narancs lap az MAB lap maradványa, a kék az 1-2-es hasáblapé, a sárga a 2-3-as hasáblapé. Ez utóbbi kettő csatlakozására a hiányok miatt rá is látunk.

Visszatérve a feladatunkhoz először nézzük, hogy mi a teendő. Az előzö helyzethez képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

 További segédanyag

• Szemléltető videók a blog Szemléltető videók oldalán találhatóak.
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva

Távoktatás: Gúlák és hasábok áthatása (1. feladat)

Ebben a bejegyzésben hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei képsíkra merőleges helyzetűek.
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle beletud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábéle metszi a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a felső ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

A feladatok azért tűnnek még nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

• Diasor első 12 diája
• Munkafüzet 37-39. oldala
• Szemléltető videók a blog Szemléltető videók oldalán találhatóak.

 Instrukciók:

• A könnyen észrevehető pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

•  Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így 

vagy így:

• De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy  vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
• Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

 

• A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 37. oldala.

• A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek.  Egyet mutatok mintaként:

Távoktatás: Gúla/hasáb metszése síklappal

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.
• Transzformáció: sík vetítősíkká transzformálása.

A feladatok azért tűnnek nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

• Diasor  11-16. diája.
• Munkafüzet következő oldalai kellenek: 32., 34. (alsó ábra), 35., 36.

Instrukciók:

• A 32. oldal felső feladatához a diasor 11. diáján lévőket kell felhasználni. Itt egyszerűbb dolgunk van, a sík vetítőhelyzetben van, és a 2. képen lehet látni, hogy hol metszik a gúla oldalélei. Ezek közül vannak "virtuálisak" is, azaz olyanok, melyek nem jönnek a valóságban létre csak akkor, ha kellően nagy lenne a síklap. De ezeket a pontokat is szerkesztjük. Most pl. három ilyen virtuális pontunk volt.
  De mit jelent ez?
  A pontos segítségével egy elméleti vágásvonal rajzolható fel a sík által definiált módon. Ebből csak azok a részek keletkeznek, amelyek a háromszöglap belsejében vannak. Figyeljék a kezek által le nem takart részeket! Ugyanaz a gondolat, mint amikor két síkot metszettünk, csak most a négy gúlalap és az adott síklap vesz részt a játékban!

• A 32. oldal alsó feladatához a diasor 13-16. diáin lévőket kell felhasználni. Szétszedtem lépésekre. Ezzel kapcsolatosan csak két dolgot jegyeznék meg:

• A 34. oldal alsó ábrájához egy vázlatot mutatok. A sík a 2.képen egy vonalként látszik, így a gúla éleivel alkotott közös pontok rendezővel vetíthetők az 1. képre. Csak a C pont van a háromszöglap belsejében, a többiek kívül, de a metszet megrajzolásához mindegyikre szükség van! Az ABCD metszenek csak az a része keletkezik, amelyik a háromszög területére esik. Ezzel tulajdonképpen megszerkesztjük az XY és XZ  szakaszok gúlával közös pontjait is.
  A láthatóságnál új elvet használunk a feladat kiírása szerint: a gúla felül lévő négyzet lapját eltávolítjuk, és ezzel belelátunk a gúla belsejébe, mint egy tölcsérbe.

• A 35. oldal feladatához ebben a pdf-ben van útmutató.
• A 36. oldal feladatához csak egy táblaképet mutatok. Az előző leírás erre a feladatra is alkalmazható.