Ábrázoló geometriát tanítok: Tórusz metszése egyenessel és síkkal

2022. április 20., szerda

Tórusz metszése egyenessel és síkkal

A témához szükségesek:

Diasor
Munkafüzet2022 49. és 54. oldalai
Lejátszási lista a forgásfelületek témakörhöz

Tórusz metszete:
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Az alábbi animált ábra a forgástengelyre merőleges metszeteket mutatja. A legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is.

Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk: "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére.
Ha leírást is keresünk hozzá, akkor ilyesmi pdf-ket találhatunk a neten több helyen is:

Ezek lapok éppen azok a metszetek, amiket a fentebb lévő animált ábra is mutatott.

De két kört, mint metszetet, máshogy is kaphatunk. Az alábbi ábra körei az ún. Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét