Forgásfelületek áthatása, azaz metszésük egymással

  Letölthető anyagok:

• Diasor és Diasor
• Munkafüzet2022 55-63. oldalai
• Lejátszási lista a forgásfelületek témakörhöz 
  

Ez a témakör a korábbi síklapú testek áthatása témakör továbbgondolása, ugyanis legvégül minden forgásfelület (de a szépen hullámzó ún. szabad formájú felületek is) poliéderekkel vannak közelítve a megjelenítések vagy az előállítások során. Ahhoz, hogy kezelhetők legyenek, bizonyos metszeteket kell ismernünk.
Az áthatásszerkesztés módszerei és ötletei attól függhetnek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el. Ezen a gyakorlaton az egybeeső és a párhuzamos tengelyű forgásfelületekkel foglalkozunk

Egybeeső tengelyek esetén a felületek  paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó kört (köröket).

Párhuzamos tengelyek esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek. Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban megmutassák az áthatási görbe formáját. 
Az áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban, legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletelősíkokkal tudjuk meghatározni. Ilyen helyzetet szemléltet az alábbi videó, amely 66. oldal feladatának a modelljén mutatja be a szeletelő eljárást.

 A 67. oldal: feladatának különlegessége, hogy a gömb érinti a kúpot. Ez azért érdekes helyzet, mert ebben a pontban kialakul egy ún. kettőspont. A görbén végighaladva ezen a ponton irányváltás nélkül jutunk át. Az alábbi képek ezt a helyzetet szemléltetik többféle nézőpontól. (További képek a feladat modelljéről)
A bal oldali ábra a modellt, a jobb oldalin a felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik:

Ha a modell belülről üreges, akkor beleláthatunk, és ekkor onnan figyelhető meg az áthatás vonala. A másik képen szeletelés egy lépése látszik: mindkét testből paralel kört metszünk, ezek közös pontjai az áthatási görbe két pontját adják.

Amikor a két felület forgástengelye metsző vagy kitérő helyzetben van egymáshoz képest, akkor a módszerek és ötletek is alkalmazkodnak ezekhez a helyzetekhez, bár az is igaz, teljesen általános helyzetekkel nem fogunk találkozni.
Pl. A forgástengelyek egymásra merőleges helyzetben lesznek. Ez egy igen fontos könnyítés, mert így egy fekvő helyzetben lévő henger vízszintes síkokkal is könnyen szerkeszthető metszeteket ad.
A módszerünk:

SZELETELÉS !!!

A kurzus végén már nem azon kell gondolkodni, hogy mi a szeletelés, hanem alkalmazni azt SOKSZOR. Ezzel lehet biztosítani, hogy nagyon közel lesznek megszerkesztett pontok, amiket össze lehet/kell kötni. De látatlanban nem lehet megtanulni azt, hogy milyen is lesz egy áthatási vonal futása, ezért lássunk néhány példát:

Ez a két henger egyenlő sugarú és a tengelyeik metsző helyzetben vannak. Alapban bárhogy elhelyezkedhetnek a térben, ezeken a képeken "fekvő" helyzetben vannak. Vagyis így, ahogy vannak, le lehet tenni őket az asztalra és egy lappal le lehet fedni őket. A geometria nyelvén ez azt jelenti, hogy alulról és felülről ugyanaz a síkpár érinti mindkét hengert → a legalsó és a legfelső alkotók metszéspontjaiban  a hengerek érintik egymást, és az árhatási vonal szétesik két ellipszisre. Ezek vonala a fenti képeken nagyon szépen kirajzolódik. Az ellipszisek síkjai egymásra merőlegesek, felülről nézve X-et formáznak. Ezzel a helyezettel még fogunk találkozni a Boltozatok témánál.

Ha az előbbi helyzeten csak annyit változtatunk, hogy csökkentjük a sugarát, akkor a fentebb említett érintkezést alul is és felül is elrontjuk. Egyszerűen a sárga henger vastagabb, a szürke vékonyabb és csak amiatt marad meg a levegőben, mert átdugtuk a sárga hengeren.

Ilyenkor az áthatásvonala két különálló zárt vonalból áll. Ezek szimmetrikusan helyezkednek el és kb olyasmi tekeredésük van, mint a Pringles csipsz peremének.

A peremet kell figyelni, és nem a csipsz felületét! A lényeg, hajlása van felfelé és lefelé is.

Hogyan érdemes szeletelni?


Az előbbi esetekben a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Egy ilyen szeletelő síkban a hengerekből egy-egy alkotópárt találunk, melyek összesen 4 metszéspontot határoznak meg.

 Vagyis a teendő: minél többször felvenni ilyen szeletelő síkot és négyesével megszerkeszteni a pontokat. Gyors és egyszerű eljárás! A munkafüzet 69. oldalán a vastagabb henger álló helyzetben van és a vékonyabb vízszintesen fúrja át. Ez azt jelenti, hogy ott a szeletelősíkjaink függőleges helyzetűek leszek, egészen pontosan a K2-velpárhuzamosak.

Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is. Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk. Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők. Valahogy így: 

Ez is gyors módszer, mint ahogy a képen is látszik, egy lépésben 4 pontot tudunk előállítani.

Ha a tengelyeket a metsző helyzetből elmozdítjuk, akkor kitérő tengelyeket kapunk. Kitérő tengelyek esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni. Ebben a szemléltető példában egy fekvő henger és függőleges tengelyű kúp került áthatásra. A szerkesztést megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk. És ebben a helyzetben a szeletelést vízszintes síkokkal érdemes elvégezni, mert akkor a kúpból kimetszett kört két hengeralkotóval kell összemetszeni.

A 72. oldal feladatában a henger a K2 képsíkra merőleges, így nem kell transzformálni.

Itt a szerkesztés lépései talán jobban látszanak:

Találtam egy galériát, ahol a 4 évvel ezelőtti gyakorlaton a táblaképeket megőriztem. Így a  szerkesztés néhány lépése követhető.

További segédanyag:

• Részlet Pethes Endre: 222 ábrázoló geometria feladat c. könyvéből. (XI. fejezet) (link frissítve 2022. 05. 13.)
• gyakorló feladatok (link frissítve: 2022.05.22.)
  
• Illetve a jobb oldalon ajánlott irodalomból az Ábrázoló geometria szemléletesen című könyv megfelelő fejezete
• hallgatói munkák

 Vendégposztok: 

• Hengerek áthatása,  
• Kúpok és hengerek áthatása

Bagel (=nem tökéletes tórusz) metszése

Ma tanultuk a tórusz metszését. Akkor mondtam, hogy esetleg ki lehet próbálni az amerikai fánkok vagdosásával a metszetkészítést. Nos, jó hír, hogy van aki kipróbált ilyesmit. Végül is nem fánk, hanem bagel volt a vágás alanya.

Forrás

Persze a forma nem tökéletes, de azért lehet azzal próbálkozni, hogy a vágás síkja a lyukat két ponton is érintse. Az egyik elég jól látszik a fenti képen.

Forrás

És itt már a másik is. A vágás vonalát átrajzolva látszik, hogy a kék és a zöld (kör)vonal is megkerült a lyukat, és eléggé "kerekedik". Ezekről a vonalakról be lehet bizonyítani, hogy körök, amennyiben a bagelt tórusznak tekintjük.

Forrás

Kissé geometrikusan a fenti ábra mutatja a vágás síkját, ahogy két helyen is érinti a tórusz belsejében lévő lyukat. A két kör a meridiánmetszetet jeleníti meg, és ezeknek a köröknek közös belső érintőjét véve kell a a megfelelő vetítősíkot beállítani.
A keletkező körök az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralelkörét.

Az eredeti poszt George Hart jóvoltából az alábbi linken olvasható:
http://momath.org/home/math-monday-12-06-10/

Tórusz modelljei

 A gyakorlaton ezeket a modelleket vehették kézbe:

Az első sorozat a forgástengelyre merőleges metszeteket mutatja. Minden magasságban körpárokat kapunk, melyeket most a színváltások is jól szemléltetnek.

A másik sorozat ferde, de egymással párhuzamos síkokkal történő metszeteket mutat. Így minden metszet más formájú, egymásra illesztve elég jól mutatja a tórusz felületének változásait:

A gyurmaragasztó elég csúnya alátámasztás volt, így lett a fehér talapzat, melyen egy kisebb ragasztó a helyén tartja a szeletelt modellt:

Tórusz metszése egyenessel és síkkal

  A témához szükségesek:

• Diasor
• Munkafüzet2022 49. és 54. oldalai
• Lejátszási lista a forgásfelületek témakörhöz

Tórusz metszete:
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Az alábbi animált ábra a forgástengelyre merőleges metszeteket mutatja. A legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is. 

Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk:  "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

 

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére.
Ha leírást is keresünk hozzá, akkor ilyesmi pdf-ket találhatunk a neten több helyen is:

Ezek lapok éppen azok a metszetek, amiket a fentebb lévő animált ábra is mutatott.


De két kört, mint metszetet, máshogy is kaphatunk. Az alábbi ábra körei az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét

Ehhez a helyzethez a metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, vetítősíkként így láthatjuk ezt a helyzetet:

További segédanyag:

• Táblaképek egy szerkesztésről (2016): Tórusz metszése síkkal
• Hallgatói munkák (több szkennelt ábra, tórusz metszése különböző állású síkokkal)

A képek forrása:

• http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/torus-przek-2.gif
• http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif
• http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Villarceau_circles.gif
• http://momath.org/wp-content/uploads/bagel-circles-3.jpg

A modellek készítések leírásai:

• https://papercraftetc.blogspot.com/2013/07/sliceforms-are-my-new-obsession.html
• https://papercraftetc.blogspot.com/2015/03/super-pi-day-ball.html

Gömb metszése egyenessel és síkkal

 A témához szükségesek:

• Diasor
• Munkafüzet2022 46., 47. és 50. oldalai
• Lejátszási lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Metszés egyenessel

Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest. Ezt szemlélteti az alábbi néhány fotó:

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Célszerű függőleges síkot választani, mert ekkor a metszet könnyen leforgatható. Mi nem tanultunk leforgatást, helyette transzformációt fogunk használni.
Egy animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: 

• http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif

 
Ebben az esetben kérdés:

• Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor milyen magasan lesznek a metszetkörök középpontjai? 

Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

 Gömb metszete:

Minden metszet esetén keressük a

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.

A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.

Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör most átmetszi a metsző síkot. Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.

  

Kúpszeletek a konyhában

A kúpszeletek, mint gyűjtőnév, nagyon informatív elnevezés, mivel a kör, ellipszis, parabola és a hiperbola a forgáskúpból egyetlen síkkal való vágás, metszés útján jön létre. Igazából kúp formájú hétköznapi tárgyunk viszonylag kevés van, különösen olyan, amely kedvünk szerint metszhető. 

De, kúp formájú sütiket bármikor készíthetünk:

Az alábbi képsorozat a metszeteket ábrázolja. Például az első éppen egy körmetszet, amikor a vágás síkja merőleges a kúp tengelyére:

Ha egy kicsit döntjük a metszés síkját, akkor ellipszist kapunk. Ekkor minden kúpalkotót elmetszünk, csak már nem ugyanabban a magasságban:

A síkot(=kést) még tovább döntjük, akkor előbb-utóbb eljön az a helyzet, amikor a sík párhuzamos lesz az egyik alkotóval. Akkor a metszet parabola:

És, ha még tovább billentjük a síkot, akkor az beáll függőleges helyzetbe, azaz a kúp tengelyével párhuzamos lesz. Ekkor a metszet hiperbolaív, csak az egyik ágból keletkezik egy ív:

A vágás után a vonalak, vagyis maguk a vágási felületek kiemelhető lekvárral vagy mogyorókrémmel való kenéssel. Íme az illusztráció:

A recept és részletesebb leírás elérhető ezen a linken: http://www.evilmadscientist.com/2013/sconic-sections/