Ábrázoló geometriát tanítok: Távoktatás: Gömb és tórusz síkmetszete

2020. április 20., hétfő

Távoktatás: Gömb és tórusz síkmetszete

Minden metszet esetén keressük a

legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A témához szükségesek:

Diasor
Munkafüzet 59.és 63. oldalai

Gömb metszete:
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.

A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.

További képek elérhetők itt: https://www.thingiverse.com/thing:3514453
Ha papírból készült modellünk van, akkor az teljesen jól összehajtató, ahogy a lenti képen is látható.

Forrás

Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör most átmetszi a metsző síkot. Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.

Tórusz metszete:
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Az alábbi animált ábra a forgástengelyre merőleges metszeteket mutatja. A legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is.

Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk: "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére.

Forrás: 9gag.com

Ha leírást is keresünk hozzá, akkor ilyesmi pdf-ket találhatunk a neten több helyen is:

Ezek lapok éppen azok a metszetek, amiket a fentebb lévő animált ábra is mutatott.

De két kört, mint metszetet, máshogy is kaphatunk. Az alábbi ábra körei az ún. Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét

Ehhez a helyzethez a metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, vetítősíkként így láthatjuk ezt a helyzetet:

További segédanyag:

Táblaképek a gyakorlatról: Tórusz metszése síkkal

Hallgatói munkák (tórusz metszése)

Bácskay-Nagy Dávid engedélyével teszem közzé a következő, animált gif-ből készített videót. Érdemes teljes képernyőn nézni, és a tanulmányozáshoz bármely pillanatban megállítható.