Forgásfelületek metszése síkkal

Ezen a héten folytatjuk a forgásfelületekkel való ismerkedést, de most a síkkal való metszésre fókuszálunk. Továbbra is a forgástengelyt a K1 képsíkra merőlegesen fogjuk felvenni.

Letölthető anyagok:

• Diasor
• Modul 4 feladatlapok május 2-re

 Megismerkedünk az ún. szeletelő módszerrel, amelynek az lesz a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze. Egy másik módszer lehet az, hogy a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk.  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).
 Minden metszet esetén keressük a

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

Tehát a használható módszereink:

• Szeletelő módszer
• Transzformációs módszer (A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát.)

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.
Minden metszet esetén keressük a

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

Gömb metszete:
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek, vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.

Kúp metszete:

Forrás: Wikipédia

A kúp metszetei csúcspontra nem illeszkedő síkkal metszve:

• kör (a forgástengelyre merőleges síkkal), 
• ellipszis (minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal), 
• parabola (egy alkotóval párhuzamos síkkal), 
• hiperbola (két alkotóval párhuzamos síkkal)

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk.

 A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

Henger metszete:
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz.
Tórusz metszete:
A tórusszal idő hiányában nem tudunk majd foglalkozni, de érdemes megemlíteni, hogy a metszetei negyedrendű görbék, melyek különböző alakúak lehetnek: "ovális", "piskóta", nyolcas vagy két kör is lehet:

A fenti animált ábrák forrása:
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/torus-przek-2.gif
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif
(A könnyebb tanulmányozás érdekében kattintson a linkre és csak az jelenik meg a böngészőben!)

További segédanyag:

• Táblaképek a gyakorlatról: Tórusz metszése síkkal
• Összetett forgásfelület metszése vetítősíkkal,  részlet Prof. dr. Szunyogh Gábor diasorából, (Óbudai Egyetem), feladatlap
• Hallgatói munkák (tórusz metszése)
• További videókat a http://abrazolottanitok.blogspot.hu/p/video.html oldalon találhat.
• Tórusz modell készítése: https://anewchapter2010.wordpress.com/2011/09/08/paper-doughnut/