Forgásfelületek áthatása

Letölthető anyagok:

• Diasor
• feladatlapok

 
Ezen a héten a forgásfelületek áthatásának szerkesztésével foglalkozunk. A módszerek és ötletek attól függenek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.
A tengelyek lehetnek:

• Egybeesők
• Párhuzamosak
• Metszők
• Kitérők

Egybeeső tengelyek esetén a felületek  paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó kört (köröket).









 

Párhuzamos tengelyek esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek. Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban megmutassák az áthatási görbe formáját. 
Az áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban, legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletősíkokkal tudjuk meghatározni.

• Táblaképek
• Videók a https://intersectionofsurfaces.wordpress.com/2012/03/11/horizontal-cutting-planes-in-3d-and-2d-graphics/ oldalról:

•  Segédábrák:

A modell	A felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik.

Alulról beleláthatunk a modell belsejébe (üreges modell)	A szeletelés egy lépése: mindkét testből paralel kört metszünk, ezek közös pontjai az áthatási görbe két pontját adják.

• További képek a feladat modelljéről

Egyenlő sugarú, metsző tengelyű hengerek áthatása

Különböző sugarú, metsző tengelyű hengerek áthatása

Metsző tengelyek esetén a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Ezzel párhuzamosan szeletelni csak akkor érdemes, ha a felületekből  könnyen rajzolható metszeteket kapunk. Pl. hengerek esetén alkotópárokat.

Egyenlő sugarú, metsző tengelyű hengerek, a szeletelés egy lépése

Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is. Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk. Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők.

Minden más esetben az ún. segédgömbös módszert érdemes alkalmazni. Ennél a módszernél a forgástengelyek metszéspontja, mint középpont körül olyan gömböket írunk, melyek mindkét felületbe belemetszenek. Ha a gömböt és az egyik felületet vesszük, akkor azok, mint közös tengely felületek paralel körökben metszik egymást. Ugyan ez érvényes a másik felület és a gömb vonatkozásában. Egy ilyen gömbön a különböző állású paralel körök közös pontjai  kijelölhetők. Ezek a pontok a keresett áthatási görbe közös pontjai is lesznek.

Kitérő tengelyek esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni, de természetesen lehetnek kivételek. Nálunk az egyik felület mindig egy fekvő henger lesz, a másik felület függőleges tengelyű kúp.

A szerkesztést megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk.

Az animált gif elérhető: http://abris.pe.hu/kup_henger_gif.html

További segédanyag:

• Részlet Pethes Endre: 222 ábrázoló geometria feladat c. könyvéből. (XI. fejezet)
• gyakorló feladatok
• Illetve a jobb oldalon ajánlott irodalomból az Ábrázoló geometria szemléletesen című könyv megfelelő fejezete
• hallgatói munkák
• Vendégposztok:  Áthatás gömbbel, Hengerek áthatása, Kúpok és hengerek áthatása
• Vendégposzt, amely nálunk csak kiegészítés lesz: Kúpok áthatása
• Egy táblánál kidolgozott feladat:

• Itt a szerkesztés lépései jobban látszanak:

•  A szerkesztés néhány lépése: https://drive.google.com/open?id=0B_XPtCdn7YKzcnNpdXpIMXRjSDQ

•