9. hét - Gömb és tórusz metszése síkkal

A heti tananyag rövid összefoglalása: 

Ezen a héten folytatjuk a forgásfelületekkel való ismerkedést, de ezen a héten a síkkal való metszésre fókuszálunk. Továbbra is a forgástengelyt a K1 képsíkra merőlegesen fogjuk felvenni.

Megismerkedünk az ún. szeletelő módszerrel, amelynek az lesz a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők.

Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Egy másik módszer lehet az, hogy a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk.  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Minden metszet esetén keressük a

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

Gömb metszete:
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken vagy ellipszisnek, vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.

Tórusz metszete:
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, melyek különböző alakúak lehetnek: "ovális", "piskóta", nyolcas vagy két kör is lehet:
A fenti animált ábrák forrása:
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/torus-przek-2.gif
http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif
(A könnyebb tanulmányozás érdekében kattintson a képre és csak az jelenik meg a böngészőben!)
DE a két kör máshogy is elhelyezkedhet. Az alábbi ábra körei az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Villarceau_circles.gif

Ehhez a helyzethez a metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, vetítősíkként így láthatjuk ezt a helyzetet:

http://momath.org/wp-content/uploads/bagel-circles-3.jpg

Előadás:
 diasor  és feladatlap
Táblaképek a gyakorlatról: Tórusz metszése síkkal
Házi feladat:
feladatlap. Beadási határidő: 2016. április 28.
További segédanyag:

• Összetett forgásfelület metszése vetítősíkkal,  részlet Prof. dr. Szunyogh Gábor diasorából, (Óbudai Egyetem), feladatlap
• Hallgatói munkák (tórusz metszése)
• Bácskay-Nagy Dávid engedélyével teszem közzé a következő, animált gif-ből készített videót. Érdemes teljes képernyőn nézni, és a tanulmányozáshoz bármely pillanatban megállítható.