2021. április 28., szerda

Gömb és tórusz síkmetszete

 Minden metszet esetén keressük a

  • legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
  • a kontúrokon lévő pontokat
  • a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
  • és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
A témához szükségesek:
Gömb metszete:
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.

A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.

Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör most átmetszi a metsző síkot. Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.

   
Tórusz metszete:
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Az alábbi animált ábra a forgástengelyre merőleges metszeteket mutatja. A legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is. 
Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk:  "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

 

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére.
Ha leírást is keresünk hozzá, akkor ilyesmi pdf-ket találhatunk a neten több helyen is:

Ezek lapok éppen azok a metszetek, amiket a fentebb lévő animált ábra is mutatott.


De két kört, mint metszetet, máshogy is kaphatunk. Az alábbi ábra körei az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét
Ehhez a helyzethez a metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, vetítősíkként így láthatjuk ezt a helyzetet:

További segédanyag:
  • Táblaképek a gyakorlatról: Tórusz metszése síkkal
  • Hallgatói munkák (tórusz metszése)
  • Bácskay-Nagy Dávid engedélyével teszem közzé a következő, animált gif-ből készített videót. Érdemes teljes képernyőn nézni, és a tanulmányozáshoz bármely pillanatban megállítható.
A képek forrása:
 A modellek készítések leírásai:
Bejegyezte: dátum:
Címkék: , ,

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése

Feliratkozás: Megjegyzések küldése (Atom)