Síklapú testek áthatása 3. (2023 ősz)

 Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet 40.-41. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A 4. feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket most nem részletezem. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a diasorban a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Hasonló feladat:

• Egy feladat megoldása, ahol a test lapjai színesek
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken:

Ez a kép a minden szükséges szerkesztett pontot megmutat, az 1, 2, 3, 4 pontok a IV. képen olvashatók le, mint hasáb-oldallapok és gúla-oldalélek metszéspontjai, a további képekre rendezőkkel vetítettük. Az 5, 6, 7, 8 pontok a b és c egyeneseken keletkeztek, melyekkel a IV. kép alapján a [bc] lap hosszabbításával egy gúla metszetet szerkesztettünk. Ennek az 1. képe jelölte ki a pontok felülnézetét, innen rendezőkkel vetítettük őket a 2. képre.

Az összekötés során megkerestük a szomszédos pontokat. A hasábon és a gúlán is a felületen kell haladni az összekötés során. Ahol egy háromszöglapon csak a széleken kaptunk pontokat, akkor azokat kell összekötni (Az ABD lapon az 13 és 24). Ha egy lapon nemcsak a lap szélén keletkezett pont, ott ezeket kell a szélekhez "kikötni" (pl. ACD lapon 1-5-7-2).

Az 1. kép láthatóságánál a teljes áthatási vonal látható, mivel olyannak kell gondolnunk, mintha egy oldalfelületekre rajzolt vonal lenne, ahol magukat az oldallapokat (így az oda rajzolt vonalakat is) látjuk.

A 2. kép láthatóságánál első körben az elől lévő lapokon keletkezett szakaszok látszanak, a hátul levőkből csak azok a részletek látszanak, amelyek az ábra kontúrján vannak, vagy ahova a keletkezett lyukon keresztül átlátunk/belátunk.

Láthatóság érzékeltetése néhány lap színezésével:

Síklapú testek áthatása 2. (2023 ősz)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet 34.-36. oldalai és 37.-39. oldalai
• Segédábrákból az 5.-7. oldala

Az első feladat teendőit mutatom be részletesebben. A hasáb bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

 

 Az áthatási témakör 3. feladata két hasáb áthatása lesz, melyeket ez az ábra szemléltet:

Itt most észrevehető, hogy az egyik hasáb áll a vízszintes síkon, míg a másik "fekvő" helyzetben van, azaz az oldalélei vízszintesek. A bejegyzés ad néhány instrukciót a metszéspontok és metszésvonalak szerkesztéséhez.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet 37.-39. oldala

A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az álló hasáb 12 oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!

• Képek az egyik feladat modelljéről és újabb képek egy kis rajzolgatással kiegészítve.

• A feladatunkhoz hasonló feladat megoldása: