2023. április 7., péntek

Forgásfelületek áthatása (2023)

Letölthető anyagok:

Ez a témakör a korábbi síklapú testek áthatása témakör továbbgondolása, ugyanis legvégül minden forgásfelület (de a szépen hullámzó ún. szabad formájú felületek is) poliéderekkel vannak közelítve a megjelenítések vagy az előállítások során. Ahhoz, hogy kezelhetők legyenek, bizonyos metszeteket kell ismernünk.
Az áthatásszerkesztés módszerei és ötletei attól függhetnek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.

Egybeeső tengelyek esetén a felületek  paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó kört (köröket).(Lásd 56. oldal)

Párhuzamos tengelyek esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek. Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban megmutassák az áthatási görbe formáját. (Lásd 57-61. oldalak)
Az áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban, legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletelősíkokkal tudjuk meghatározni. Ilyen helyzetet szemléltet az alábbi videó, amely 59. oldal feladatának a modelljén mutatja be a szeletelő eljárást.
A 60. oldal feladatának különlegessége, hogy a gömb érinti a kúpot. Ez azért érdekes helyzet, mert ebben a pontban kialakul egy ún. kettőspont. A görbén végighaladva ezen a ponton irányváltás nélkül jutunk át. A görbe futásának érzékeléséhez érdemes a 61. oldalon az áthatási vonalon 10-15 pontot beazonosítani és azokat az eredeti felületekkel együtt transzformálni.
A bal oldali ábra a modellt, a jobb oldalin a felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik:

Amikor a két felület forgástengelye metsző vagy kitérő helyzetben van egymáshoz képest, akkor a módszerek és ötletek is alkalmazkodnak ezekhez a helyzetekhez, bár az is igaz, teljesen általános helyzetekkel nem fogunk találkozni.
Pl. A forgástengelyek egymásra merőleges helyzetben lesznek. Ez egy igen fontos könnyítés, mert így egy fekvő helyzetben lévő henger vízszintes síkokkal is könnyen szerkeszthető metszeteket ad.
A módszerünk:

SZELETELÉS !!!
Már nem azon kell gondolkodnunk, hogy mi a szeletelés, hanem alkalmazni azt SOKSZOR. Ezzel lehet biztosítani, hogy nagyon közel lesznek megszerkesztett pontok, amiket össze kell kötni. De látatlanban nem lehet megtanulni azt, hogy milyen is lesz egy áthatási vonal futása, ezért lássunk néhány példát:
Ez a két henger egyenlő sugarú és a tengelyeik metsző helyzetben vannak. Alapban bárhogy elhelyezkedhetnek a térben, ezeken a képeken "fekvő" helyzetben vannak. Vagyis így, ahogy vannak, le lehet tenni őket az asztalra és egy lappal le lehet fedni őket. A geometria nyelvén ez azt jelenti, hogy alulról és felülről ugyanaz a síkpár érinti mindkét hengert → a legalsó és a legfelső alkotók metszéspontjaiban  a hengerek érintik egymást, és az árhatási vonal szétesik két ellipszisre. Ezek vonala a fenti képeken nagyon szépen kirajzolódik. Az ellipszisek síkjai egymásra merőlegesek, felülről nézve X-et formáznak. Ezzel a helyezettel még fogunk találkozni a Boltozatok témánál.

Ha az előbbi helyzeten csak annyit változtatunk, hogy csökkentjük a sugarát, akkor a fentebb említett érintkezést alul is és felül is elrontjuk. Egyszerűen a sárga henger vastagabb, a szürke vékonyabb és csak amiatt marad meg a levegőben, mert átdugtuk a sárga hengeren.
Ilyenkor az áthatásvonala két különálló zárt vonalból áll. Ezek szimmetrikusan helyezkednek el és kb olyasmi tekeredésük van, mint a Pringles csipsz peremének.
A peremet kell figyelni, és nem a csipsz felületét! A lényeg, hajlása van felfelé és lefelé is.

 Hogyan érdemes szeletelni?

Az előbbi esetekben a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Egy ilyen szeletelő síkban a hengerekből egy-egy alkotópárt találunk, melyek összesen 4 metszéspontot határoznak meg.
Vagyis a teendő: minél többször felvenni ilyen szeletelő síkot és négyesével megszerkeszteni a pontokat. Gyors és egyszerű eljárás! A munkafüzet 62. oldalán a vastagabb henger álló helyzetben van és a vékonyabb vízszintesen fúrja át. Ez azt jelenti, hogy ott a szeletelősíkjaink függőleges helyzetűek leszek, egészen pontosan a K2-vel párhuzamosak.
Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is. Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk. Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők. Valahogy így: 
Ez is gyors módszer, mint ahogy a képen is látszik, egy lépésben 4 pontot tudunk előállítani.

Ha a tengelyeket a metsző helyzetből elmozdítjuk, akkor kitérő tengelyeket kapunk. Kitérő tengelyek esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni. Ebben a szemléltető példában egy fekvő henger és függőleges tengelyű kúp került áthatásra. A szerkesztést megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk. És ebben a helyzetben a szeletelést vízszintes síkokkal érdemes elvégezni, mert akkor a kúpból kimetszett kört két hengeralkotóval kell összemetszeni.

A 65. oldal feladatában a henger a K2 képsíkra merőleges, így nem kell transzformálni.

További segédanyag:


Bejegyezte: dátum: Nincsenek megjegyzések:
Címkék: , , , , ,

2023. április 2., vasárnap

Gömb és tórusz metszése síkkal

 Letölthető anyagok:

Emlékeztető a gömb metszetei kapcsán:

  • A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk. 
  • A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.
  • Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

 Gömb metszete általános helyzetben:

A legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén keressük a

  • legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
  • a kontúrokon lévő pontokat
  • a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
  • és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)

 Tórusz metszetei :

A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is.  (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)

Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk:  "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)

Érdekesség, hogy tóruszból nemcsak a forgástengelyre merőleges  metszéssel kaphatunk kör metszeteket. Az alábbi ábra körei az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét. A metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, a jobb oldali ábra vetítősíkként mutatja ezt a helyzetet.
A képek forrása:

További segédanyag:

Bejegyezte: dátum: Nincsenek megjegyzések:
Címkék: , , , , , ,
Feliratkozás: Bejegyzések (Atom)