2023. április 2., vasárnap

Gömb és tórusz metszése síkkal

 Letölthető anyagok:

Emlékeztető a gömb metszetei kapcsán:

  • A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk. 
  • A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.
  • Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

 Gömb metszete általános helyzetben:

A legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén keressük a

  • legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
  • a kontúrokon lévő pontokat
  • a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
  • és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik, hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)

 Tórusz metszetei :

A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös", mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az alsó körre is.  (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)

Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal változatosabb metszeteket kapunk:  "ovális", "piskóta", nyolcas, "két szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.

Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)

Érdekesség, hogy tóruszból nemcsak a forgástengelyre merőleges  metszéssel kaphatunk kör metszeteket. Az alábbi ábra körei az ún.  Villarceau-körök, melyeket Yvon Villarceau (1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét. A metsző síknak két helyen érintenie kell a tórusz belső oldalát, a jobb oldali ábra vetítősíkként mutatja ezt a helyzetet.
A képek forrása:

További segédanyag:

Bejegyezte: dátum:
Címkék: , , , , , ,

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése

Feliratkozás: Megjegyzések küldése (Atom)