Síklapú testek metszése egyenessel, síkkal, síklappal

A síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.

Ehhez nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

Forgatható modellek:

• https://www.tinkercad.com/embed/59NP7AIwG73
• https://www.tinkercad.com/embed/lbsGQrzeK2R 
• https://www.tinkercad.com/embed/2afKRSYxYdW  
• https://www.tinkercad.com/embed/ig0VeO0JQtC 
• https://www.tinkercad.com/embed/138ccLbwKcj
• https://www.tinkercad.com/embed/1tACypAyCkl 

Interaktív ábra (GeoGebra)

A GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.

• Gúla metszetének szemléltetése
  

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben.
• Munkafüzet2024  22-27. oldala
• Útmutató a 26. oldal feladatához 
• kidolgozott feladatok
  
• Táblakép a 27. oldal feladatáról:
  

Táblakép (2020. 11. 04.)
A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.

Néhány vázlat:

2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak
az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani
a fenti, 2020-as változattal!

• A 25. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott közös pontok látszanak az 1. képen.
  A gúlás eset már nem került be a munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek, így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából. 

•  Ennél a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.
  

 

Képsíkrendszer transzformációja, újabb vetületek szerkesztése

Az ábrázolási rendszerünk meghatározza, hogy egy tárgyat, alakzatot honnan nézhetünk. A Monge-féle kétképsíkos eljárásban mindig a képsíkra merőleges irányból készült vetületekkel találkozunk. Felmerülhet a kérdés: Jó ez minden esetben?
A válasz természetesen nem. Előfordulhat, hogy a könnyen szerkeszthető nézet helyett inkább a szemléletes mellett döntenénk. De hogyan juthatunk el az egyik képből a másikba? Ez az út a képsíkrendszer transzformációja: amely röviden fogalmazva újabb vetület(ek) szerkesztését jelenti az előző kép(ek) felhasználásával.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben + kiegészítő diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet2024  15-21. oldala
• A munkafüzet 18. oldal feladatának megoldása + 19. oldal feladatának megoldása 
  
• Feladatok gyakorlásra 
• Háromszöglap magasságpontja transzformációval: Megoldás videó formátumban
  
• Két síklap szöge transzformációval: Megoldás videó formátumban

Amikor azt tapasztaljuk, hogy egyik megadott képen sem látszik szemléletesen az ábrázolt alakzat, akkor újabb irányból kellene vetületet szerkeszteni róla. Ezen a héten éppen ennek a szerkesztésnek a lépéseit fogjuk megtanulni.
Ezt a szerkesztést kiváltja a modellező programok az a funkciója, mellyel a modell szabadon forgatható, pontosabban a nézőpont folyamatosan változtatható lesz.

Egy ide kapcsolódó példa két sík szögének meghatározása, melyhez transzformációt fogunk használni. Megfelelő irányból a keresett szög a transzformáció végén leolvasható:

A kocka után ez a csonkolt kocka lesz a feladat főszereplője:

Táblaképek: A gyakorlaton a szerkesztés folyamatát is sikerült megörökíteni (2019):

 

Síkok metszése láthatósággal

Most két sík metszésére koncentrálunk, méghozzá olyan esetekben, amikor mindkét megadott sík általános helyzetű. A keresett metszésvonal két pontjával egyértelműen meghatározható. Így a következő megoldási menetet követjük:

• Az egyik sík vonalai (határvonalai) közül kiválasztunk egyet, mellyel a másik síkot el fogjuk metszeni. Ezzel a két sík egy közös pontját előállítjuk.
• Az előbbi lépést még egyszer végrehajtjuk.
• A kapott két pontot összekötve megkapjuk a síkok metszésvonalát.
• Láthatóság szerinti kihúzás: a síkokat síklapoknak képzeljük és megkeressük,  hogy az egyes területeken melyik sík takarja a másikat.
  

Fontos megjegyezni, hogy alapvetően a síklapok határvonalai közül tetszőlegesen választhatunk a közös pontok meghatározásához. Gyakorlatilag az okozhat problémát, hogy sok esetben a szerkesztés nem fér ki a megadott terület, vagy papírlapra. Ilyenkor érdemes újabb egyenessel próbálkozni. A gyakorlaton szó lesz arról is, hogy hogyan érdemes "jó" egyenest választani.

A síklapok összemetsződésének egyik példája a fenti ábrán látható.Itt most a szerkesztővonalak nincsenek feltüntetve, de a keletkezett metszésvonal igazából csak egy szakaszként jelenik meg. Itt  most az ábra azt mutatja, mintha a két bemetszett lapot csak összecsúsztatnánk, hogy egymásba kapjanak, ahhoz hasonlóan, mint a korong alakú építőjáték elemi csatlakoznak.

Egy másik esetben a kész ábra ahhoz hasonló, mint amikor az egyik lapon egy hasítékot készítünk, hogy ott a másik síklapot átcsúsztassuk, vagy csak egy részét belecsúsztassuk. Ilyesmit szemléltet a jobb oldali képen látható szalag, melyen van egy elszegett rés, és a szalag végei azon átcsúsztathatók. Persze ilyen szalagot nem fogunk ábrázolni, de a lényeget jól szemlélteti.

 Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (26. diától)
• Munkafüzet2024  12-14. oldala 
• 13. oldal feladatának megoldása pdf-ben pdf-ben és videó formában
• Kiegészítő diasor (14. oldal)
  

Táblai feladatmegoldások a korábbi évekből:

További segédanyag

• Egy feladat  megoldása lépésenként megmutatva
• http://users.atw.hu/mageptech/Tantargyak/muszakiabr/metsze.jpg

Síkok metszése egyenessel, láthatóság

Mit kellene tudnunk ahhoz, hogy bármilyen helyzetű két síkot (=síklapot) el tudjunk metszeni?

Például nagyon jó lenne, hal egy általános helyzetű síkot és egy általános helyzetű egyenest el tudnánk metszeni egymással. A megoldási menet nem látszik az alábbi ábrán, csak a végeredmény. Az M pontban kell átszúrni az egyenest a síkon. A szúrás(=döfés, =metszés)pontban az egyenes láthatósága váltani fogannak megfelelően, hogy az egyenes mely része van a síklap fölött/alatt a felülnézetben, és mely része van a síklap előtt/mögött a szemből nézetben. A láthatóság eldöntésénél majd mindig a másik  kép lesz a segítségünkre.

Fedő egyenespár módszere

Általános helyzetű térelemek esetében a fedő egyenespár módszerét alkalmazhatjuk. Ennek az lesz a lényege, hogy az elképzeljük az egyenes egyik vetítősíkját, és azzal az adott síkba metszünk. Ekkor egy olyan egyenest kapunk, amely az adott egyenes alatt/fölött halad, és közben át is metszi azt.
Ez ábrán a V1 első vetítősíkot választottam, amely az m egyenesben metszi a háromszöglap síkját. Az első képen (felülnézetben) az adott egyenes és az m egyenes ugyanabban  a vonalban látszik, míg a 2. képen (szemből nézetben) azt látjuk, hogy hogy az e és m egyenesek metszőek. Ezt a metsző helyzetet természetesen bármely oldalnézet is megmutatná.

Hasonló helyzetet szemléltet az alábbi forgatható ábra is:

 

 

Lényeg: két egyenes az egyik képen fedi egymást, a másik képen pedig nem. A számunkra fontos metszéspont ezen az utóbbi képen jeleneik majd meg hamarabb,  a másikra rendezővel fogjuk vetíteni.

 

A módszernek van egy "fordított" verziója is,  melyet második fedőegyenes módszernek nevezünk. Ennek a lényege, hogy a feladatban szereplő egyenesre második vetítősíkot illesztünk és először ennek az eredeti síkkal való metszését szerkesztjük meg. Az 1. képen jelölhető ki a keresett döféspont a két egyenes metszéspontjaként:

 

Mindegy, hogy melyik módszert alkalmazzuk egy adott feladatban, ugyanazt a metszéspontot fogjuk kapni eredményül!

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2024 (10.-11. oldal)
• Fedőegyenes módszer alkalmazása (videó)
  

További ábrák:

Síklap és egyenes metszése 2. fedőegyenes alkalmazásával. Az ábrában nincs feltüntetve az x12 képsíktengely, ennek ellenére a rendezők beállnak egymással párhuzamos helyzetbe.(Forrása: Sulinet tudásbázis)

Ezt már tudunk a Monge-féle ábrázolásról

Ezt a félévet úgy kezdjük, hogy a Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás alapjait már vettük az Ábrázolási alapismeretek kurzusban. Ekkor ennek a Munkafüzet2024-nek az első 9 oldalát használtuk. Ott fejeztük be, hogy vetítősíkkal metszettünk egyenest és síkot is. Ez a bejegyzés egy összefoglaló ezektől az ismeretekről.  Ebben a bejegyzésben röviden összefoglalom, hogy miről van ismeretünk.

Ebben a félévben a Monge-rendszert fogjuk használni, amelyben egyszerre kell dolgoznunk egy alakzat elöl- és felülnézetével. A vetületekből kell majd következtetnünk az alakzatok térbeli helyzetére, a képsíkokhoz viszonyított helyzetükre. Illetve, ha valamilyen új elemet ábrázolunk az egyik képen, akkor a térbeli kapcsolatokra alapozva meg kell határozunk annak a másik képét is. Ezáltal a két képet összehangoltan kell használnunk és párhuzamosan kell fejlesztgetni! A rendszerünkben a K1 képsík fölött és a K2 képsík előtt helyezzük el az alakzatokat.

Alapfogalmak, melyekről korábban szó volt: képsíkrendszer, rendező, térnegyedek, pontok ábrázolása a térnegyedekben, pont távolsága a képsíkoktól. Ábrázoltunk térelemeket, melyek a képsíkokhoz képest lehetnek speciális helyzetben. Ez a képsíkkal való párhuzamosságot és a képsíkra merőleges helyzetet jelenti.

Forrás: Sokszínű matematika 5. osztály

Mi az európai ábrázolási rendszert használjuk. A vetületi ábrázoláskor az alakzatot egymásra merőleges képsíkok által határol „szobasarokba” helyezzük, majd a síkokra merőlegesen vetítjük. A vetítés után a képsíkokat kihajtogatjuk a vetületekkel együtt. A mi Monge-rendszerünk csak két képet használ, a fenti kismackós szemléltetésből csak a szemből- és felülnézetével dolgozunk, és csak szükség esetén fordulunk az oldalnézethez.

Az ábráinkból rá kell jönnünk, hogy egy pont illeszkedik-e egy egyenesre, vagy egy síkra, vagy akár egy egyenes rajta van-e egy síkon. Ez azért is fontos, mert nem csak ilyen döntéseket kell hoznunk, hanem a feltételeket használva újabb elemeket ábrázolhatunk. Például egy síkidomból levághatunk egy darabkát, vagy lyukat vághatunk a közepére, de a metszéseknek is ez lesz majd az alapja. 

Egy pont egyenesre való illesztésekor fontos, hogy mindkét képen látható legyen az "illeszkedik" helyzet, vagyis a pont első képe az egyenes első képére, a pont második képe az egyenes második képére illeszkedjen, és természetesen a pont képeit rendezővel tudjuk összekötni. 

Egy egyenes síkra való illesztése már bonyolultabb, ugyanis az már ismert elemekhez kell "ragasztanunk" az újabbat. A síkot úgy kell tekinteni, mintha egy átlátszó fólia lenne, amelyre rajzolhatunk. A síkot a Monge-rendszerben pl. egy metsző egyenespárral megadva minden újabb egyenes az adott egyenesekkel alkotott metszéspontjai által rögzíthető! Vagy az is előfordulhat, hogy valamelyik ismert egyenessel párhuzamos, akkor ezt a párhuzamosságot látni fogjuk. Ezzel a technikával előbb-utóbb egy pókhálószerű vonalrendszert kapjuk. És végül ha pontot akarunk illeszteni síkra, akkor azt csak úgy tehetjük meg, ha először keresünk egy olyan síkbeli egyenest, amelyre a pontot rá tudjuk tenni. Emlékeznek a pókhálós példámra? A képek benne vannak a diasorban.

És végül vetítősíkkal metszettünk más alakzatokat: egyenest is és másik síkot is. Ebben az volt a lényeg, hogy a vetítő sík az egyik képen egy vonalban látszódik, és így jól be lehet azonosítani, hogy mi van az egyik vagy másik oldalán, és hol alakulnak ki metszések. Erre mutatok egy példát:

A használt diasorok elérhetők a következő linkeken:

• Diasor1 (Bevezetés, alapvető ábrázolási ismeretek) 
• Diasor2 (Illeszkedéssel kapcsolatos ismeretek) 
• Diasor3 (Metszés egyszerűbb esetei, vetítősíkkal történő metszés)

Munkalapok:

• Munkafüzet2024 1.-9. oldalai
   

Emlékeztető a térelemek ábrázolásához (videók)

• Pontok ábrázolása (azonosítása) a Monge-rendszerben
• Egyenesek ábrázolása
• Síkok ábrázolása
• Egyenes és sík, valamint két sík metszése egyszerűbb esetekben