Gúlák és hasábok áthatása (1. rész)

Ebben a bejegyzésben hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei speciális helyzetűek (azaz vagy képsíkkal párhuzamos helyzetűek, vagy arra merőlegesek).
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle bele tud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábélek metszik a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a fenti ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási törött vonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

A feladatok azért tűnnek még nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

• Diasor első 21 diája
• Bevezető mintafeladat és a Munkafüzet 37-39. oldala
  
• Szemléltető videók ebben a lejátszási listában  találhatóak.

 Instrukciók:

•  A Bevezető mintafeladat az egyik legegyszerűbb áthatási feladat, amikor a hasáb két csatlakozó oldallapja egy ékalakú pengeként vág bele a gúlába. Az alábbi képen csak a megoldást mutatom, amikor a hasáb kiszakít egy darabot a gúlából és a csonkolt formát ábrázoljuk. A metszés/áthatás vonala igazából két síkmetszet együtteséből áll: az 12 egyenesek síkja magasabban, a gúla vékonyabb részénél metsz, míg az 13 egyenesek síkja lejjebb és így nagyobb felületű metszet keletkezik. Erre az utóbbira felülnézetben részben rálátunk. A szerkesztés menete a diasorban látható.

• A következő feladatban (37. o.) a pontok egy része könnyen észrevehető. Ezek a pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

•  Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így 

vagy így:

• De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy  vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
• Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

 

• A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 37. oldala.

• A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek.  Egyet mutatok mintaként:

 

• A következő forgatható modellek a két test egyesítését illetve a hasáb eltávolítása utáni csonkolt gúlát ábrázolják: