Gúlák és hasábok áthatása (1. rész)

Ebben a bejegyzésben hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei speciális helyzetűek (azaz vagy képsíkkal párhuzamos helyzetűek, vagy arra merőlegesek).
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle bele tud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábélek metszik a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a fenti ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási törött vonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Sík és egyenes döféspontjának szerkesztése. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

A feladatok azért tűnnek még nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

• Diasor első 21 diája
• Bevezető mintafeladat és a Munkafüzet 37-39. oldala
  
• Szemléltető videók ebben a lejátszási listában  találhatóak.

 Instrukciók:

•  A Bevezető mintafeladat az egyik legegyszerűbb áthatási feladat, amikor a hasáb két csatlakozó oldallapja egy ékalakú pengeként vág bele a gúlába. Az alábbi képen csak a megoldást mutatom, amikor a hasáb kiszakít egy darabot a gúlából és a csonkolt formát ábrázoljuk. A metszés/áthatás vonala igazából két síkmetszet együtteséből áll: az 12 egyenesek síkja magasabban, a gúla vékonyabb részénél metsz, míg az 13 egyenesek síkja lejjebb és így nagyobb felületű metszet keletkezik. Erre az utóbbira felülnézetben részben rálátunk. A szerkesztés menete a diasorban látható.

• A következő feladatban (37. o.) a pontok egy része könnyen észrevehető. Ezek a pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

•  Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így 

vagy így:

• De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy  vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
• Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

 

• A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 37. oldala.

• A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek.  Egyet mutatok mintaként:

 

• A következő forgatható modellek a két test egyesítését illetve a hasáb eltávolítása utáni csonkolt gúlát ábrázolják:
  

Síklapú testek metszése egyenessel, síkkal, síklappal

A következő két héten síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.

Ehhez nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

Forgatható modellek:

• https://www.tinkercad.com/things/59NP7AIwG73
• https://www.tinkercad.com/things/lbsGQrzeK2R 
• https://www.tinkercad.com/things/2afKRSYxYdW 
  
• http://abrazolottanitok.blogspot.com/2017/11/szemleletes-modell.html
• http://abrazolottanitok.blogspot.com/2017/11/szemleletes-modell-3.html 
• http://abrazolottanitok.blogspot.com/2017/11/az-alabbi-modell-tetszolegesen.html

  Interaktív ábra (GeoGebra)

A GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.

• Gúla metszetének szemléltetése
  

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben.
• Munkafüzet 31-36. oldala
• Útmutató a 35. oldal feladatához 
• Táblakép a 36. oldal feladatáról:
  

Táblakép (2020. 11. 04.)
A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.

Néhány vázlat:

2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak
az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani
a fenti, 2020-as változattal!

• A 34. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott közös pontok látszanak az 1. képen.
  A gúlás eset már nem került be a munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek, így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából. 

•  Ennél a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.
  

További segédanyag 

• kidolgozott feladatok
• A bemutatott papírmodellek

 

Körábrázolás

 A heti témánk a különböző helyzetű körök ábrázolása lesz. Ez egy elég nehéz témakör, csak az alapvetőbb dolgokra lesz időnk. Az biztos, hogy a kör vetülete lehet kör, ellipszis vagy akár egy szakasz is, mindez attól függ, hogy a kör síkja milyen helyzetben van a képsíkhoz képest.

Egy konzervdoboz pereme nagyon jól modellezi a vízszintes helyzetű kört. Erről láthatunk néhány képet.

Az alábbi ábrán a kör síkja az K1 képsíkra merőleges, így a felülnézetben szakaszt, szemből nézetben ellipszis látunk:

Forrás: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/proj1.png

Ha ezt a síkot tudnánk forgatni ahhoz hasonlóan, mint ahogy az ajtót nyitjuk-zárjuk, akkor az első kép továbbra is egy átmérő hosszúságú szakasz, míg a második kép formája ellipszis ugyan, de folyamatosan változik: teltebb vagy soványabb formát kapunk attól függően, hogy a K2-höz képest milyen szögben állítottuk be a kör síkját.

Általános helyzetű síkra illesztett kör esetén nehezebb a feladatunk, a síkot előbb leforgatjuk, hogy azon bizonyos körpontokat megjelölhessünk, majd azokat visszaillesztjük a síkra.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet  26.-30. oldala

További segédanyag 

• Angol nyelvű anyag: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/rotacija_eng.html
• Egy háromszögbe írható kör ábrázolása eléggé összetett feladat. Letölthető feladatlap. A megoldás menete megtekinthető. ((A dokumentum történelmi értékű, amikor a 2014-15-ös tanév őszi félévében a felújított termekben a 11. héten sem volt tábla. Az 5. lépés csak extra, nekünk elegendő az első 4 lépés!)
• A hozzá tartozó táblakép:

Sík leforgatása és a módszer alkalmazása

Egy olyan módszerrel ismerkedünk meg, amely során nem változtatjuk meg a nézőpontunkat, hanem az alakzatot hozzuk egy számunkra kedvezőbb helyzetbe: ez lesz a sík képsíkkal párhuzamos helyzetbe forgatása.

Az ábra a sík egy pontjának leforgatását szemlélteti

 A képsíkkal (K1 képsíkkal) párhuzamos helyzet azért előnyös, mert ekkor felülnézetben a sík alakzatai közötti méretekkel kapcsolatos minden információ leolvasható lesz.
A szerkesztéseink lényege az lesz, hogy egy síkot annak egy első fővonala körül K1-gyel párhuzamos helyzetbe forgatunk. Ezzel egy síkbeli alakzat első és forgatott képe kötött létrejön egy olyan kapcsolat, amelyre a következők teljesülnek:

• A forgástengelyként használt fővonal a forgás során helyben pontonként helyben marad, vagyis minden pontjának első és forgatott képe egybeesik.
• Minden síkbeli pont első és forgatott képét egy olyan vonal köti össze, amely merőleges a fővonal első képére.
• Ha egy síkbeli egyenes elmetszi a forgástengelyt, akkor a forgatott képe ugyanott metszi azt. 
• Ha egy síkbeli egyenes párhuzamos a forgástengellyel, akkor a forgatott kép is párhuzamos lesz a tengellyel. (A forgatás során végi megőrződik a párhuzamosság!)
• Ha az első és forgatott képet, melyek a tengelyeként használt fővonalon csatlakoznak egymáshoz, jobban megfigyeljük, akkor az ábra nagyon hasonlít a tengelyes szimmetriához, DE attól annyiban tér el, hogy az alakzat első képe kissé "össze van nyomva" a forgástengelyre merőleges irányban.

Ez a fenti leképezés a geometriában a tengelyes affinitás, amelyben az egymásnak megfelelő pontokat a tengelyre merőleges egyenesek kötik össze. (ortogonális tengelyes affinitás)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet  21-25. oldala

Képek az órai modellről:

• A modellekről készült képek kiegészítésekkel nagyobb méretben

Táblaképek:

A munkafüzet 25. oldal feladata.
Az adott síkot leforgatjuk, és a leforgatott részen megszerkesztjük a feladatban kért négyzetet.

Ezután a négyzet első képét szerkesztjük a forgatás visszafelé történő alkalmazásával. Ehhez a négyzet egy szemköztes oldalpárját hosszabbítottuk meg a forgatás tengelyéig. A négyzet első képe paralelogramma lesz.

A második kép szerkesztése a síkra való illesztésekkel történik. Azokat a szemköztes oldalegyeneseket használhatjuk most is, amivel az első képet szerkesztettük. a jobboldali ábrán végül megmutattam, hogy hogyan néz ki a feladat másik megoldása, amikor az a egyenes másik oldalán vesszük fel a négyzetet. Ennek az a "baja", hogy a forgatott képe elmetszi a forgatás tengelyét, ezért az első képe is átlóg a nyomvonal másik oldalára, és ezzel fedésbe kerül a leforgatott és az első kép. Ennek következménye, hogy egy csúcspont a második képen az x12 alá fog kerülni.
(Ha van lehetőségünk választani, akkor célszerű kerülni az ilyen helyzeteket.)