Az utolsó témánk a boltozatszerkesztés, melyben hengereket és gömböket
használunk különböző terek lefedésére. A legegyszerűbb a téglalap alakú
terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület
lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh-
és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és
kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok
kialakításához.Szabálytalan terek lefedésével és különböző
szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozhatunk.
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.
A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk (Lásd itt).
Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő
sugarú körlapokból építhetők.
Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a
metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.
Gömb metszete általános helyzetben:
A
legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík
vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén
keressük a
legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Egy
kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján
lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy
vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a
K2 képsíkkal párhuzamos
főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik,
hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező
síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a
hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok
narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)
Tórusz metszetei :
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy
előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy
azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a
legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt
alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös",
mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis
két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az
alsó körre is. (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)
Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal
változatosabb metszeteket kapunk: "ovális", "piskóta", nyolcas, "két
szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön
létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.
Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)
Érdekesség, hogy tóruszból nemcsak a forgástengelyre merőleges
metszéssel kaphatunk kör metszeteket. Az alábbi ábra körei az ún. Villarceau-körök, melyeket YvonVillarceau(1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét. A metsző síknak két helyen
érintenie kell a tórusz belső oldalát, a jobb oldali ábra vetítősíkként mutatja ezt a
helyzetet.
Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:
Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk,
akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy
adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a
felületre,
akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű
körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az
így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett
paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk,
hogy különböző magasságokban vannak.
Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani,
és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók
felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét
jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík
vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a síklapú testek metszésénél
hasonló transzformációt alkalmaztunk.
Szeletelő módszer:a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére
merőleges síkkal metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a
felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a
kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők.
Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.
Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk,
és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát! Ebben a speciális
oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet
legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen
általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a
henger és a kúp esetén).
Milyen pontokat keresünk?
legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is
egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval
az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.
Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:
Forrás: Wikipédia
A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a
metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor
transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:
KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal
Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a
palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók
hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani.
Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a
hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az
alábbi animált ábra:
Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet
alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt
érdemes külön megemlíteni:
Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:
Henger metszete:
Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal
metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör,
míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a
sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis
metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem
jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.
Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:
Ebben a témakörben síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk
ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és
síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.
Ehhez
nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és
metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése
segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek
nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el
kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk
a képzelőerőnket.
A
GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal
szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása
mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.
Táblakép (2020. 11. 04.) A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.
Néhány vázlat:
2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani a fenti, 2020-as változattal!
A 27. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha
eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az
alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több
metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a
hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott
közös pontok látszanak az 1. képen. A gúlás eset már nem került be a
munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az
egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde
metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az
egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek,
így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából.
Ennél
a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a
lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején
lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most
láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.
Az utolsó témánk a boltozatszerkesztés, melyben hengereket és gömböket
használunk különböző terek lefedésére. A legegyszerűbb a téglalap alakú
terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület
lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh-
és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és
kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok
kialakításához.Szabálytalan terek lefedésével és különböző
szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozhatunk.
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.
A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk (Lásd itt).
Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő
sugarú körlapokból építhetők.
Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a
metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.
Gömb metszete általános helyzetben:
A
legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík
vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén
keressük a
legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Egy
kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján
lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy
vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a
K2 képsíkkal párhuzamos
főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik,
hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező
síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a
hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok
narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)
Tórusz metszetei :
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy
előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy
azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a
legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt
alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös",
mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis
két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az
alsó körre is. (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)
Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal
változatosabb metszeteket kapunk: "ovális", "piskóta", nyolcas, "két
szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön
létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.
Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)
Érdekesség, hogy tóruszból nemcsak a forgástengelyre merőleges
metszéssel kaphatunk kör metszeteket. Az alábbi ábra körei az ún. Villarceau-körök, melyeket YvonVillarceau(1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét. A metsző síknak két helyen
érintenie kell a tórusz belső oldalát, a jobb oldali ábra vetítősíkként mutatja ezt a
helyzetet.
Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:
Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk,
akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy
adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a
felületre,
akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű
körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az
így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett
paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk,
hogy különböző magasságokban vannak.
Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani,
és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók
felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét
jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík
vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a síklapú testek metszésénél
hasonló transzformációt alkalmaztunk.
Szeletelő módszer:a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére
merőleges síkkal metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a
felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a
kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők.
Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.
Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk,
és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát! Ebben a speciális
oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet
legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen
általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a
henger és a kúp esetén).
Milyen pontokat keresünk?
legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is
egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval
az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.
Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:
Forrás: Wikipédia
A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a
metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor
transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:
KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal
Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a
palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók
hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani.
Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a
hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az
alábbi animált ábra:
Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet
alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt
érdemes külön megemlíteni:
Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:
Henger metszete:
Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal
metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör,
míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a
sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis
metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem
jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.
Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:
Ebben a témakörben síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk
ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és
síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.
Ehhez
nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és
metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése
segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek
nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el
kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk
a képzelőerőnket.
A
GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal
szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása
mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.
Táblakép (2020. 11. 04.) A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.
Néhány vázlat:
2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani a fenti, 2020-as változattal!
A 27. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha
eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az
alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több
metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a
hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott
közös pontok látszanak az 1. képen. A gúlás eset már nem került be a
munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az
egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde
metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az
egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek,
így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából.
Ennél
a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a
lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején
lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most
láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.
Az utolsó témánk a boltozatszerkesztés, melyben hengereket és gömböket
használunk különböző terek lefedésére. A legegyszerűbb a téglalap alakú
terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület
lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh-
és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és
kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok
kialakításához.Szabálytalan terek lefedésével és különböző
szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozhatunk.
A gömb minden metszete kör, melyet a vetületeken körnek, ellipszisnek vagy átmérő hosszúságú szakasznak látunk.
A gömb metszetei egyre kisebbek, ahogy a középponttól távolodunk. Ezt jól lehet szemléltetni azokkal a papírmodellekkel, melyek megfelelő sugarú körlapokból építhetők.
Ha függőleges síkokkal felszeletelünk egy gömböt, akkor a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.
Gömb metszete általános helyzetben:
A legegyszerűbb olyan vetülettel (is) dolgozni, ahol a metsző sík vetítősík, vagyis egyetlen vonal jeleníti meg. Minden metszet esetén keressük a
legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
a kontúrokon lévő pontokat
a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.
Egy kis kiegészítés ahhoz, hogy hogyan képzeljük el a gömb kontúrján
lévő pontokat. A kontúr vonala mindig egy adott képsíkhoz (és így egy vetülethez) tartozik. A lenti forgatható ábrán a gömbön megjelenítettem a K2 képsíkkal párhuzamos
főkört, melyet a képsíkra vetítve a gömb kontúrját kapjuk. Jól látszik,
hogy ez a gömbi kör és metsző sík keresztezi egymást, mert a keletkező síkmetszet nem csak az elől lévő félgömbön keletkezik, hanem átnyúlik a hátsó félgömbre is. (Ezek a pontok
narancsszínű megjelenítést kaptak a diasorban.)
Tórusz metszetei :
A tórusz metszetei negyedrendű görbék, amely azt jelenti, hogy
előfordulhat, hogy egy egyenesnek a metszettel 4 közös pontja van. Ahogy azt már korábban láttuk, a forgástengelyre merőleges metszésekkel a
legtöbb esetben koncentrikus köröket kapunk, kivéve, amikor a tóruszt
alulról vagy felülről érinti a sík. Ez az érintkezés azért "trükkös",
mert matematikailag a legfelső kör ilyenkor duplán számítható ki, vagyis
két koncentrikus kör, melyeknek egyenlő a sugara. Ugyanez érvényes az
alsó körre is. (http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/torus-przek2/img/tor-prze2.gif)
Ha a forgástengellyel párhuzamosan szeletelünk, akkor sokkal
változatosabb metszeteket kapunk: "ovális", "piskóta", nyolcas, "két
szembefordított tojás" vagy két kör is lehet. A 8-as forma akkor jön
létre, amikor a gyűrű belsejét megérinti a sík.
Ezeket a forgástengellyel párhuzamos metszeteket is használhatjuk sliceform modellek készítésére. (lásd lentebb)
Érdekesség, hogy tóruszból nemcsak a forgástengelyre merőleges metszéssel kaphatunk kör metszeteket. Az alábbi ábra körei az ún. Villarceau-körök, melyeket YvonVillarceau(1813-1883) francia csillagászról és matematikusról neveztek el. A múlt század elején igazolták, hogy ezek a körök ugyanakkora szögben metszik a a tórusz összes paralel körét. A metsző síknak két helyen
érintenie kell a tórusz belső oldalát, a jobb oldali ábra vetítősíkként mutatja ezt a
helyzetet.
