Kúp és henger metszése síkkal

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2025  52-54. oldalak
• Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
  

Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:

•  Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:

Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:

Forrás: Wikipédia

A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön megemlíteni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:

Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/

A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

További segédanyagok:

• Gyakorlat 2020-ból
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Kúp és henger metszése síkkal (2024)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2024  52-54. oldalak
• Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
  

Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:

•  Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:

Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:

Forrás: Wikipédia

A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön megemlíteni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:

Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/

A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

További segédanyagok:

• Gyakorlat 2020-ból
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Kúp és henger metszése síkkal (2023)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2023  52-54. oldalak
• Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat Pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
  

Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:

•  Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:

Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:

Forrás: Wikipédia

A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön kiemelni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:

Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/

A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

További segédanyagok:

• Rögzített gyakorlat 2020-ból
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Kúp és henger síkmetszése

Korábbi ismeretek: 

• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (Frissítve: 2022. 04. 13.)
• Rögzített gyakorlat 2020.  (videó)
• Lejátszási lista a forgásfelületek témakörhöz
  
• Munkafüzet2022  51-53. oldalak

Módszereink:

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:
KÖR, ELLIPSZIS, PARABOLA, HIPERBOLA

Forrás: Wikipédia

A fenti képen is jól látszik, hogy az a kép segít a metszet besorolásában, ahol a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani.

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön kiemelni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

 

Henger metszete:
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

Forgásfelületek síkmetszése (kúp, henger)

Korábbi ismeretek: 

• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet 60-62. oldalak

Módszereink:

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:
KÖR, ELLIPSZIS, PARABOLA, HIPERBOLA

Forrás: Wikipédia

A fenti képen is jól látszik, hogy az a kép segít a metszet besorolásában, ahol a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani.

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk.
A metsző sík  változtatásával a metszetek is folyamatosan változnak, amit ez a videó is szemléltet:

 Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön kiemelni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.


Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Az alábbi videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

 Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

Távoktatás: Kúp és henger síkmetszetei

Korábbi ismeretek: 

• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben, diasor narrálva
• Munkafüzet 60-62. oldalak

Módszereink:

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:
Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:
KÖR, ELLIPSZIS, PARABOLA, HIPERBOLA

Forrás: Wikipédia

A fenti képen is jól látszik, hogy az a kép segít a metszet besorolásában, ahol a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani.

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk.
A metsző sík  változtatásával a metszetek is folyamatosan változnak, amit ez a videó is szemléltet:

 Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön kiemelni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.


Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:
A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Az alábbi videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

 Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

Távoktatás: Háromszög beírható köre

A körábrázolás témakör befejező feladata a Munkafüzet  30. oldalán található feladat:

Az eredeti tervek szerint ezt a táblára szerkesztve oldottuk volna meg a gyakorlaton. Több évvel ezelőttről már van egy táblakép, melyen látszik, hogy mennyire fog terjeszkedni a feladat a megoldás során.

A szerkesztés főbb lépései:

1. A sík leforgatása. Célszerű minél alacsonyabban lévő fővonalat választani, hogy az 1. és forgatott képek ne nagyon fedjenek egymásra. A táblaképen nyomvonalat határoztam meg, mivel a B pont eleve a K1 képsíkon van (B" az x12-re illeszkedik). Az AC oldal meghosszabbításával az N1 nyompont szerkeszthető.
2. A leforgatott képen a beírható kör megszerkesztése (középpont és érintési pontok kellenek).
3. A forgatott képen további jelölt körpontok: a nyomvonallal párhuzamos és arra merőleges átmérők végpontjai.
4. A forgatott képből indulva az 1. képek szerkesztése a visszaforgatás lépéseivel. Az érintési pontok a nyomvonalra (forgástengelyre) állított merőlegesekkel vihetők vissza. Az említett átmérők esetén a háromszöggel alkotott metszéspontok segíthetnek, illetve a a fő irányoktól való letérések. (ezt használatuk a diasorban bemutatott szerkesztésnél is)

További segítség: a megoldás menete egy ábrával.  (A dokumentum történelmi értékű, amikor a 2014-15-ös tanév őszi félévében a felújított termekben a 11. héten sem volt tábla. Az 5. lépés csak extra, nekünk elegendő az első 4 lépés!)

Körábrázolás kétképsíkos ábrázolásban

A heti témánk a különböző helyzetű körök ábrázolása lesz. Ez egy elég nehéz témakör, csak az alapvetőbb dolgokra lesz időnk. Az biztos, hogy a kör vetülete lehet kör, ellipszis vagy akár egy szakasz is, mindez attól függ, hogy a kör síkja milyen helyzetben van a képsíkhoz képest.
Egy pohár pereme nagyon jól modellezi a vízszintes helyzetű kört. Erről láthatunk egy néhány képet.(Képek nem túl nagy felbontásúak voltak, a Pinterest-en találtam őket.)

 Az alábbi ábrán a kör síkja az K1 képsíkra merőleges, így a felülnézetben szakaszt, szemből nézetben ellipszis látunk:

Forrás: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/proj1.png

Ha ezt a síkot tudnánk forgatni ahhoz hasonlóan, mint ahogy az ajtót nyitjuk-zárjuk, akkor az első kép továbbra is egy átmérő hosszúságú szakasz, míg a második kép formája ellipszis ugyan, de folyamatosan változik: teltebb vagy soványabb formát kapunk attól függően, hogy a K2-höz képest milyen szögben állítottuk be a kör síkját.

Általános helyzetű síkra illesztett kör esetén nehezebb a feladatunk, a síkot előbb leforgatjuk, hogy azon bizonyos körpontokat megjelölhessünk, majd azokat visszaillesztjük a síkra.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet  26.-30. oldala

További segédanyag 

• Angol nyelvű anyag: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/rotacija_eng.html
• Egy háromszögbe írható kör ábrázolása eléggé összetett feladat. Letölthető feladatlap. A megoldás menete megtekinthető. A hozzá tartozó táblakép:

Körábrázolás

 Figyelem! Frissítés történt a bejegyzésben 2018. nov. 7-én!

A heti témánk a különböző helyzetű körök ábrázolása lesz. Ez egy elég nehéz témakör, csak az alapvetőbb dolgokra lesz időnk. Az biztos, hogy a kör vetülete lehet kör, ellipszis vagy akár egy szakasz is, mindez attól függ, hogy a kör síkja milyen helyzetben van a képsíkhoz képest.
Egy pohár pereme nagyon jól modellezi a vízszintes helyzetű kört. Erről láthatunk egy néhány képet.(Képek nem túl nagy felbontásúak voltak, a Pintetest-en találtam őket.)

 Az alábbi ábrán a kör síkja az K1 képsíkra merőleges, így a felülnézetben szakaszt, szemből nézetben ellipszis látunk:

Forrás: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/proj1.png

Ha ezt a síkot tudnánk forgatni ahhoz hasonlóan, mint ahogy az ajtót nyitjuk-zárjuk, akkor az első kép továbbra is egy átmérő hosszúságú szakasz, míg a második kép formája ellipszis ugyan, de folyamatosan változik: teltebb vagy soványabb formát kapunk attól függően, hogy a K2-höz képest milyen szögben állítottuk be a kör síkját.

Általános helyzetű síkra illesztett kör esetén nehezebb a feladatunk, a síkot előbb leforgatjuk, hogy azon bizonyos körpontokat megjelölhessünk, majd azokat visszaillesztjük a síkra.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben.
• Feladatlapok az órára házi feladattal.

További segédanyag 

• Angol nyelvű anyag: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/rotacija_eng.html
• Egy háromszögbe írható kör ábrázolása eléggé összetett feladat. Letölthető feladatlap. A megoldás menete megtekinthető. A hozzá tartozó táblakép:

Körábrázolás

Ezen a héten különböző helyzetű körök ábrázolásával foglalkozunk. Ha a kör síkja a képsíkrendszerben speciális helyzetben van, akkor kaphatunk egyszerűbb vetületet is, mint ahogy azt az alábbi ábra is mutatja:

Forrás: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/proj1.png

A kör síkja első vetítősík, így a kör első képe egy szakasz lesz. Ez egyszerűnek mondható. De a második kép, amely egy ellipszis, már több megfigyelést igényel. Az ellipszis közelíti a kör alakot, ha a sík a második képsíkkal párhuzamos helyzethez közeledik, és egészen "sovány" is lehet, ha a második képsíkra merőleges helyhez közelítjük.

Előadás	Gyakorlat	Munkafüzet	Házi feladat
Diasor	Munkafüzet (folytatás) 41. o.	39-41. oldal	linkje

Általános helyzetű síkra illeszkedő kör esetén a síkot előbb leforgatjuk, hogy azon bizonyos körpontokat megjelölhessünk, majd azokat visszaillesztjük a síkra.

12. hét - Körábrázolás

A heti tananyag rövid összefoglalása

Ezen a héten különböző helyzetű körök ábrázolásával foglalkozunk. Ha a kör síkja a képsíkrendszerben speciális helyzetben van, akkor kaphatunk egyszerűbb vetületet is, mint ahogy azt az alábbi ábra is mutatja:

Forrás: http://www.grad.hr/geomteh3d/Monge/11rotacija/proj1.png

A kör síkja első vetítősík, így a kör első képe egy szakasz lesz. Ez egyszerűnek mondható. De a második kép, amely egy ellipszis, már több megfigyelést igényel. Az ellipszis közelíti a kör alakot, ha a sík a második képsíkkal párhuzamos helyzethez közeledik, és egészen "sovány" is lehet, ha a második képsíkra merőleges helyhez közelítjük.
Általános helyzetű síkra illeszkedő kör esetén a síkot előbb leforgatjuk, hogy azon bizonyos körpontokat megjelölhessünk, majd azokat visszaillesztjük a síkra.