Gúlák és hasábok áthatása - amikor a hasáb nincs vetítő helyzetben

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Transzformáció, mellyel elérhető, hogy egy hasáb élei (oldallapjai) az új képsíkra merőlegesek legyenek. Ebben az új nézetben eldönthető, hogy hány pont határozza meg az áthatási töröttvonalat.
  
• Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (67. oldaltól)
  
• Munkafüzet2025  38-39. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket nem részletezném, mert már megtanultuk. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Gyakorló feladat:

• Egy feladat (Gyakorló feladatok / Hasábok és gúlák áthatása / 8. oldal) megoldása, ahol a hasáb vízszintes éleivel való metszéseket vízszintes vágásokkal szerkesztették és nem azzal a módszerrel, hogy a hasáb lapot hosszabbítottuk meg. A megoldás után a test lapjait különböző színekkel jelölték, ami segít abban, hogy melyik lapot láthatjuk.A kék, barna, piros lapok mindkét képen látszanak, a sárga és a zöld pedig hátrafelé fordulnak, így nem láthatók szemből.
  
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken, lépésekben:

Síklapú testek áthatása - két feladat, melyben van vetítő helyzetű hasáb

Az áthatási feladatok megoldási menete:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok/Segédanyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2025 32-37. oldala
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva
• Szemléltető videók ebben a lejátszási listában  találhatóak.

32. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

A témakör Bevezető feladatához képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

 

==================================================

==================================================

 35. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

Tevékenységlista erre a feladatra megfogalmazva:

• A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

• Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

        Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 1-2-es oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre. 
• Egy korábbi gyakorlaton a két  hasáb egyesítésével keletkező test láthatóságát jelöltük. Nem a diasort léptettem, hanem a képernyőre rajzolva jelenítettem meg a láthatóságot. Volt olyan részlet, ahol az oldalél takartságáról döntöttünk az alapján, hogy a másik hasáb takarja-e. Végül néhány látható lapot színezéssel ábrázoltunk. Ekkor minden nyomtatott és szerkesztett vonalnak, amely "lefestést" kapott át kell váltania szaggatottra. Ezt itt most nem minden esetben láthatjuk, mert a színezés a kivetített dián teljes fedést adott. Az órái ábrán annyit javítottam, hogy a látható éleket vastagabban rajzoltam át.
  

 

További segítség:

•  Megoldott feladat, amely nagyon hasonlít a mostanihoz:

 

 

Síklapú testek áthatása - Bevezetés

Ebben a témakörben hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei képsíkra merőleges helyzetűek.
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle bele tud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábéle metszi a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a felső ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet2025 28-31. oldala 

Instrukciók:

• A könnyen észrevehető pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

•  Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így 

vagy így:

• De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy  vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
• Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

 

• A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 31. oldala.

 A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek.  Egyet mutatok mintaként:

Forgatható ábrák

• Forgatható ábra 1.
• Forgatható ábra 2.
• Forgatható ábra 3.
• Forgatható ábra 4.

Síklapú testek metszése egyenessel, síkkal, síklappal

A síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.

Ehhez nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

Forgatható modellek:

• https://www.tinkercad.com/embed/59NP7AIwG73
• https://www.tinkercad.com/embed/lbsGQrzeK2R 
• https://www.tinkercad.com/embed/2afKRSYxYdW  
• https://www.tinkercad.com/embed/ig0VeO0JQtC 
• https://www.tinkercad.com/embed/138ccLbwKcj
• https://www.tinkercad.com/embed/1tACypAyCkl 

Interaktív ábra (GeoGebra)

A GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.

• Gúla metszetének szemléltetése
  

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben.
• Munkafüzet2025  22-27. oldala
• Útmutató a 26. oldal feladatához 
• kidolgozott feladatok
  
• Táblakép a 27. oldal feladatáról:
  

Táblakép (2020. 11. 04.)
A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.

Néhány vázlat:

2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak
az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani
a fenti, 2020-as változattal!

• A 25. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott közös pontok látszanak az 1. képen.
  A gúlás eset már nem került be a munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek, így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából. 

•  Ennél a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.
  

 

Síklapú testek áthatása (2024 -3.)

 Az áthatási témakör 3. feladata két hasáb áthatása lesz, melyeket ez az ábra szemléltet:

Itt most észrevehető, hogy az egyik hasáb áll a vízszintes síkon, míg a másik "fekvő" helyzetben van, azaz az oldalélei vízszintesek. A bejegyzés ad néhány instrukciót a metszéspontok és metszésvonalak szerkesztéséhez.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
  
• Munkafüzet 37.-39. oldala

A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az álló hasáb 12 oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!

• Képek az egyik feladat modelljéről és újabb képek egy kis rajzolgatással kiegészítve.

• A feladatunkhoz hasonló feladat megoldása: