Forgásfelületek keletkezése és metszésük egyenessel

A forgásfelületek elnevezés egy összefoglaló név minden olyan felületre, amely egy görbe egy adott tengely körüli megforgatásával keletkezik. A forgatás az egyik gyakran alkalmazott módszer különböző formák alakjának modellezésére, a szoftverek többnyire Rotate, Revolution, Revolved Boss/Base parancsokat használnak a generálásukra.

Felületek előállítását szemléltető eszköz a MoMath matematikai múzeumban.

Ha a megforgatandó görbe alakját figyeljük, akkor az többnyire egy hullámzó vonal lehet, ha pl. egy váza formáját keressük. De mérnöki alkalmazásokban alapelemként olyan felületeket használnak, melyek egyenes vagy kör megforgatásával keletkeznek. 

Letölthető anyagok:

• Diasor 
• Munkafüzet2025 45.-50. oldala
• A diasor animált ábrái elérhetők ITT  

A henger és a kúp vonalfelületek, ami azt jelenti, hogy a felület minden pontján áthalad egy egyenes, vagy annak egy szakasza. Az ábrázolásoknál kerüljük a végtelenbe futó felületdarabokat, ezért mindig adott magasságú hengerrel és kúppal fogunk találkozni. Jellemzőjük, hogy síkba fejthetők, azaz síklapra szerkesztett hálójuk alapján papírmodelljeik előkészítők.

 A henger és a kúp  esetén közös tulajdonság az, hogy a felületi pontok keresése kétféle módszerrel valósítható meg: paralelkörrel vagy alkotóval. Az alkotó megjelenítése ahhoz hasonló, amikor a hasáb/gúla oldalélét rajzoltuk meg. És ez nem véletlen, hiszen ha növeljük a hasáb/gúla oldaléleinek és ezzel az oldallapjainak a számát, akkor az oldalfelület elkezd kisimulni, és végül hengert/kúpot kapunk.

A paralelkör megjelenése ahhoz hasonló, amikor a hasábokat/gúlákat egy adott magasságban elmetszettük egy vízszintes síkkal. A henger esetén mindig azonos méretű metszeteket kapunk, míg a kúp esetén a csúcs felé haladva egyre kisebbeket. Ezek a modern mászókák elég jól szemléltetik ezt a tényt.

Nagyon fontos, hogy minden felületi ponton át egy alkotó és egy paralelkör vehető fel!


A gömb és a tórusz kör megforgatásával keletkezik, a gömb esetén a forgástengely áthalad a kör középpontján, míg a tórusz esetében nem. A felületi pontok megadásakor a meridiánmetszet nem igazán használható, mivel ezek többnyire ellipszisként látszanának. Így csak a forgástengelyre merőleges metszetek, azaz a paralelkörök használhatók.
A tórusz esetén többnyire a lyukas "változatát" ábrázoljuk, amely hasonlít az úszógumi, biciklibelső formájához, vagy éppen az amerikai fánk alakjához.

A  tórusz felületére való pontillesztést az 1. képről indítva is szerkeszthetjük.  A lépéseket bemutató videó elérhető itt..

Továbbá fontos, hogy emlékezzünk arra, hogy a gömb bármely síkmetszete kör, csaknem minden esetben fog körnek látszani. Ha a metsző sík egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor a metszet vetülete ellipszis lesz.
Ha már a modern mászókákat hívtam segítségül, akkor megmutatom,hogy milyen volt a gyermekkorom játszótere. Ilyen gömbmászókán lógtunk, ha a rakétát a fiúk elfoglalták:

A hosszanti cikkek (olyanok,mint a narancsgerezdek) határai éppen a meridiánmetszetek, és néhány magasságban megvannak a paralelkörök is. A mászóka fokai pedig egyenes szakaszokkal íveket helyettesítettek.
Hasonló ötlet 48. oldal feladatának megoldást szemlélteti. És mi is a lényeg? Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest.

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Ha függőleges síkkal metszünk, akkor a metszet könnyen leforgatható. Az alábbi animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif 

Ebben az esetben kérdés:
Milyen magasan kell keresni a gömbből függőleges síkkal metszett  kör középpontját? Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

Hasznos segítség:

• Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat (IX. és X fejezet),melyeket elérthet ezen a  linken
  
• Gömb metszése vetítősíkkal + feladatlap
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Gyakorlat (2021)

 

Síkok metszése egyenessel, láthatóság

 Mit kellene tudnunk ahhoz, hogy bármilyen helyzetű két síkot (=síklapot) el tudjunk metszeni?

Például nagyon jó lenne, ha egy általános helyzetű síkot és egy általános helyzetű egyenest el tudnánk metszeni egymással. A megoldási menet nem látszik az alábbi ábrán, csak a végeredmény. Az M pontban kell átszúrni az egyenest a síkon. A szúrás(=döfés, =metszés)pontban az egyenes láthatósága váltani fog annak megfelelően, hogy az egyenes mely része van a síklap fölött/alatt a felülnézetben, és mely része van a síklap előtt/mögött a szemből nézetben. A láthatóság eldöntésénél majd mindig a másik  kép lesz a segítségünkre.

Fedő egyenespár módszere

Általános helyzetű térelemek esetében a fedő egyenespár módszerét alkalmazhatjuk. Ennek az lesz a lényege, hogy az elképzeljük az egyenes egyik vetítősíkját, és azzal az adott síkba metszünk. Ekkor egy olyan egyenest kapunk, amely az adott egyenes alatt/fölött halad, és közben át is metszi azt.
Ez ábrán a V1 első vetítősíkot választottam, amely az m egyenesben metszi a háromszöglap síkját. Az első képen (felülnézetben) az adott egyenes és az m egyenes ugyanabban  a vonalban látszik, míg a 2. képen (szemből nézetben) azt látjuk, hogy hogy az e és m egyenesek metszőek. Ezt a metsző helyzetet természetesen bármely oldalnézet is megmutatná.

Hasonló helyzetet szemléltet az alábbi forgatható ábra is:

 

 

Lényeg: két egyenes az egyik képen fedi egymást, a másik képen pedig nem. A számunkra fontos metszéspont ezen az utóbbi képen jeleneik majd meg hamarabb,  a másikra rendezővel fogjuk vetíteni.

 

A módszernek van egy "fordított" verziója is,  melyet második fedőegyenes módszernek nevezünk. Ennek a lényege, hogy a feladatban szereplő egyenesre második vetítősíkot illesztünk és először ennek az eredeti síkkal való metszését szerkesztjük meg. Az 1. képen jelölhető ki a keresett döféspont a két egyenes metszéspontjaként:

 

Mindegy, hogy melyik módszert alkalmazzuk egy adott feladatban, ugyanazt a metszéspontot fogjuk kapni eredményül!

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2025 (10.-11. oldal)
• Fedőegyenes módszer alkalmazása (videó)
  

További ábrák:

Síklap és egyenes metszése 2. fedőegyenes alkalmazásával. Az ábrában nincs feltüntetve az x12 képsíktengely, ennek ellenére a rendezők beállnak egymással párhuzamos helyzetbe.(Forrása: Sulinet tudásbázis)

Ismétlés a Monge-féle ábrázolásról

 Ezt a félévet úgy kezdjük, hogy a Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás alapjait már vettük az Ábrázolási alapismeretek kurzusban. Ekkor ennek a Munkafüzet2025-nek az első 9 oldalát használtuk. Ott fejeztük be, hogy vetítősíkkal metszettünk egyenest és síkot is. Ez a bejegyzés egy összefoglaló ezektől az ismeretekről.  Ebben a bejegyzésben röviden összefoglalom, hogy miről van ismeretünk.

Ebben a félévben a Monge-rendszert fogjuk használni, amelyben egyszerre kell dolgoznunk egy alakzat elöl- és felülnézetével. A vetületekből kell majd következtetnünk az alakzatok térbeli helyzetére, a képsíkokhoz viszonyított helyzetükre. Illetve, ha valamilyen új elemet ábrázolunk az egyik képen, akkor a térbeli kapcsolatokra alapozva meg kell határozunk annak a másik képét is. Ezáltal a két képet összehangoltan kell használnunk és párhuzamosan kell fejlesztgetni! A rendszerünkben a K1 képsík fölött és a K2 képsík előtt helyezzük el az alakzatokat.

Alapfogalmak, melyekről korábban szó volt: képsíkrendszer, rendező, térnegyedek, pontok ábrázolása a térnegyedekben, pont távolsága a képsíkoktól. Ábrázoltunk térelemeket, melyek a képsíkokhoz képest lehetnek speciális helyzetben. Ez a képsíkkal való párhuzamosságot és a képsíkra merőleges helyzetet jelenti.

Forrás: Sokszínű matematika 5. osztály

Mi az európai ábrázolási rendszert használjuk. A vetületi ábrázoláskor az alakzatot egymásra merőleges képsíkok által határol „szobasarokba” helyezzük, majd a síkokra merőlegesen vetítjük. A vetítés után a képsíkokat kihajtogatjuk a vetületekkel együtt. A mi Monge-rendszerünk csak két képet használ, a fenti kismackós szemléltetésből csak a szemből- és felülnézetével dolgozunk, és csak szükség esetén fordulunk az oldalnézethez.

Az ábráinkból rá kell jönnünk, hogy egy pont illeszkedik-e egy egyenesre, vagy egy síkra, vagy akár egy egyenes rajta van-e egy síkon. Ez azért is fontos, mert nem csak ilyen döntéseket kell hoznunk, hanem a feltételeket használva újabb elemeket ábrázolhatunk. Például egy síkidomból levághatunk egy darabkát, vagy lyukat vághatunk a közepére, de a metszéseknek is ez lesz majd az alapja. 

Egy pont egyenesre való illesztésekor fontos, hogy mindkét képen látható legyen az "illeszkedik" helyzet, vagyis a pont első képe az egyenes első képére, a pont második képe az egyenes második képére illeszkedjen, és természetesen a pont képeit rendezővel tudjuk összekötni. 

Egy egyenes síkra való illesztése már bonyolultabb, ugyanis az már ismert elemekhez kell "ragasztanunk" az újabbat. A síkot úgy kell tekinteni, mintha egy átlátszó fólia lenne, amelyre rajzolhatunk. A síkot a Monge-rendszerben pl. egy metsző egyenespárral megadva minden újabb egyenes az adott egyenesekkel alkotott metszéspontjai által rögzíthető! Vagy az is előfordulhat, hogy valamelyik ismert egyenessel párhuzamos, akkor ezt a párhuzamosságot látni fogjuk. Ezzel a technikával előbb-utóbb egy pókhálószerű vonalrendszert kapjuk. És végül ha pontot akarunk illeszteni síkra, akkor azt csak úgy tehetjük meg, ha először keresünk egy olyan síkbeli egyenest, amelyre a pontot rá tudjuk tenni. Emlékeznek a pókhálós példámra? A képek benne vannak a diasorban.

És végül vetítősíkkal metszettünk más alakzatokat: egyenest is és másik síkot is. Ebben az volt a lényeg, hogy a vetítő sík az egyik képen egy vonalban látszódik, és így jól be lehet azonosítani, hogy mi van az egyik vagy másik oldalán, és hol alakulnak ki metszések. Erre mutatok egy példát:

A használt diasorok elérhetők a következő linkeken:

• Diasor1 (Bevezetés, alapvető ábrázolási ismeretek) 
• Diasor2 (Illeszkedéssel kapcsolatos ismeretek) 
• Diasor3 (Metszés egyszerűbb esetei, vetítősíkkal történő metszés)

Munkalapok:

• Munkafüzet2025 1.-9. oldalai
   

Emlékeztető a térelemek ábrázolásához (videók)

• Pontok ábrázolása (azonosítása) a Monge-rendszerben
• Egyenesek ábrázolása
• Síkok ábrázolása
• Egyenes és sík, valamint két sík metszése egyszerűbb esetekben 

 

 

Forgásfelületek keletkezése és metszésük egyenessel (2024)

A forgásfelületek elnevezés egy összefoglaló név minden olyan felületre, amely egy görbe egy adott tengely körüli megforgatásával keletkezik. A forgatás az egyik gyakran alkalmazott módszer különböző formák alakjának modellezésére, a szoftverek többnyire Rotate, Revolution, Revolved Boss/Base parancsokat használnak a generálásukra.

Felületek előállítását szemléltető eszköz a MoMath matematikai múzeumban.

Ha a megforgatandó görbe alakját figyeljük, akkor az többnyire egy hullámzó vonal lehet, ha pl. egy váza formáját keressük. De mérnöki alkalmazásokban alapelemként olyan felületeket használnak, melyek egyenes vagy kör megforgatásával keletkeznek. 

Letölthető anyagok:

• Diasor 
• Munkafüzet2024 45.-50. oldala
• A diasor animált ábrái elérhetők ITT  

A henger és a kúp vonalfelületek, ami azt jelenti, hogy a felület minden pontján áthalad egy egyenes, vagy annak egy szakasza. Az ábrázolásoknál kerüljük a végtelenbe futó felületdarabokat, ezért mindig adott magasságú hengerrel és kúppal fogunk találkozni. Jellemzőjük, hogy síkba fejthetők, azaz síklapra szerkesztett hálójuk alapján papírmodelljeik előkészítők.

 A henger és a kúp  esetén közös tulajdonság az, hogy a felületi pontok keresése kétféle módszerrel valósítható meg: paralelkörrel vagy alkotóval. Az alkotó megjelenítése ahhoz hasonló, amikor a hasáb/gúla oldalélét rajzoltuk meg. És ez nem véletlen, hiszen ha növeljük a hasáb/gúla oldaléleinek és ezzel az oldallapjainak a számát, akkor az oldalfelület elkezd kisimulni, és végül hengert/kúpot kapunk.

A paralelkör megjelenése ahhoz hasonló, amikor a hasábokat/gúlákat egy adott magasságban elmetszettük egy vízszintes síkkal. A henger esetén mindig azonos méretű metszeteket kapunk, míg a kúp esetén a csúcs felé haladva egyre kisebbeket. Ezek a modern mászókák elég jól szemléltetik ezt a tényt.

Nagyon fontos, hogy minden felületi ponton át egy alkotó és egy paralelkör vehető fel!


A gömb és a tórusz kör megforgatásával keletkezik, a gömb esetén a forgástengely áthalad a kör középpontján, míg a tórusz esetében nem. A felületi pontok megadásakor a meridiánmetszet nem igazán használható, mivel ezek többnyire ellipszisként látszanának. Így csak a forgástengelyre merőleges metszetek, azaz a paralelkörök használhatók.
A tórusz esetén többnyire a lyukas "változatát" ábrázoljuk, amely hasonlít az úszógumi, biciklibelső formájához, vagy éppen az amerikai fánk alakjához.

A  tórusz felületére való pontillesztést az 1. képről indítva is szerkeszthetjük.  A lépéseket bemutató videó elérhető itt..

Továbbá fontos, hogy emlékezzünk arra, hogy a gömb bármely síkmetszete kör, csaknem minden esetben fog körnek látszani. Ha a metsző sík egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor a metszet vetülete ellipszis lesz.
Ha már a modern mászókákat hívtam segítségül, akkor megmutatom,hogy milyen volt a gyermekkorom játszótere. Ilyen gömbmászókán lógtunk, ha a rakétát a fiúk elfoglalták:

A hosszanti cikkek (olyanok,mint a narancsgerezdek) határai éppen a meridiánmetszetek, és néhány magasságban megvannak a paralelkörök is. A mászóka fokai pedig egyenes szakaszokkal íveket helyettesítettek.
Hasonló ötlet 48. oldal feladatának megoldást szemlélteti. És mi is a lényeg? Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest.

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Ha függőleges síkkal metszünk, akkor a metszet könnyen leforgatható. Az alábbi animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif 

Ebben az esetben kérdés:
Milyen magasan kell keresni a gömbből függőleges síkkal metszett  kör középpontját? Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

Hasznos segítség:

• Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat (IX. és X fejezet),melyeket elérthet ezen a  linken
  
• Gömb metszése vetítősíkkal + feladatlap
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Gyakorlat (2021)

 

Síkok metszése egyenessel, láthatóság

Mit kellene tudnunk ahhoz, hogy bármilyen helyzetű két síkot (=síklapot) el tudjunk metszeni?

Például nagyon jó lenne, ha egy általános helyzetű síkot és egy általános helyzetű egyenest el tudnánk metszeni egymással. A megoldási menet nem látszik az alábbi ábrán, csak a végeredmény. Az M pontban kell átszúrni az egyenest a síkon. A szúrás(=döfés, =metszés)pontban az egyenes láthatósága váltani fog annak megfelelően, hogy az egyenes mely része van a síklap fölött/alatt a felülnézetben, és mely része van a síklap előtt/mögött a szemből nézetben. A láthatóság eldöntésénél majd mindig a másik  kép lesz a segítségünkre.

Fedő egyenespár módszere

Általános helyzetű térelemek esetében a fedő egyenespár módszerét alkalmazhatjuk. Ennek az lesz a lényege, hogy az elképzeljük az egyenes egyik vetítősíkját, és azzal az adott síkba metszünk. Ekkor egy olyan egyenest kapunk, amely az adott egyenes alatt/fölött halad, és közben át is metszi azt.
Ez ábrán a V1 első vetítősíkot választottam, amely az m egyenesben metszi a háromszöglap síkját. Az első képen (felülnézetben) az adott egyenes és az m egyenes ugyanabban  a vonalban látszik, míg a 2. képen (szemből nézetben) azt látjuk, hogy hogy az e és m egyenesek metszőek. Ezt a metsző helyzetet természetesen bármely oldalnézet is megmutatná.

Hasonló helyzetet szemléltet az alábbi forgatható ábra is:

 

 

Lényeg: két egyenes az egyik képen fedi egymást, a másik képen pedig nem. A számunkra fontos metszéspont ezen az utóbbi képen jeleneik majd meg hamarabb,  a másikra rendezővel fogjuk vetíteni.

 

A módszernek van egy "fordított" verziója is,  melyet második fedőegyenes módszernek nevezünk. Ennek a lényege, hogy a feladatban szereplő egyenesre második vetítősíkot illesztünk és először ennek az eredeti síkkal való metszését szerkesztjük meg. Az 1. képen jelölhető ki a keresett döféspont a két egyenes metszéspontjaként:

 

Mindegy, hogy melyik módszert alkalmazzuk egy adott feladatban, ugyanazt a metszéspontot fogjuk kapni eredményül!

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2024 (10.-11. oldal)
• Fedőegyenes módszer alkalmazása (videó)
  

További ábrák:

Síklap és egyenes metszése 2. fedőegyenes alkalmazásával. Az ábrában nincs feltüntetve az x12 képsíktengely, ennek ellenére a rendezők beállnak egymással párhuzamos helyzetbe.(Forrása: Sulinet tudásbázis)

Ezt már tudunk a Monge-féle ábrázolásról

Ezt a félévet úgy kezdjük, hogy a Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás alapjait már vettük az Ábrázolási alapismeretek kurzusban. Ekkor ennek a Munkafüzet2024-nek az első 9 oldalát használtuk. Ott fejeztük be, hogy vetítősíkkal metszettünk egyenest és síkot is. Ez a bejegyzés egy összefoglaló ezektől az ismeretekről.  Ebben a bejegyzésben röviden összefoglalom, hogy miről van ismeretünk.

Ebben a félévben a Monge-rendszert fogjuk használni, amelyben egyszerre kell dolgoznunk egy alakzat elöl- és felülnézetével. A vetületekből kell majd következtetnünk az alakzatok térbeli helyzetére, a képsíkokhoz viszonyított helyzetükre. Illetve, ha valamilyen új elemet ábrázolunk az egyik képen, akkor a térbeli kapcsolatokra alapozva meg kell határozunk annak a másik képét is. Ezáltal a két képet összehangoltan kell használnunk és párhuzamosan kell fejlesztgetni! A rendszerünkben a K1 képsík fölött és a K2 képsík előtt helyezzük el az alakzatokat.

Alapfogalmak, melyekről korábban szó volt: képsíkrendszer, rendező, térnegyedek, pontok ábrázolása a térnegyedekben, pont távolsága a képsíkoktól. Ábrázoltunk térelemeket, melyek a képsíkokhoz képest lehetnek speciális helyzetben. Ez a képsíkkal való párhuzamosságot és a képsíkra merőleges helyzetet jelenti.

Forrás: Sokszínű matematika 5. osztály

Mi az európai ábrázolási rendszert használjuk. A vetületi ábrázoláskor az alakzatot egymásra merőleges képsíkok által határol „szobasarokba” helyezzük, majd a síkokra merőlegesen vetítjük. A vetítés után a képsíkokat kihajtogatjuk a vetületekkel együtt. A mi Monge-rendszerünk csak két képet használ, a fenti kismackós szemléltetésből csak a szemből- és felülnézetével dolgozunk, és csak szükség esetén fordulunk az oldalnézethez.

Az ábráinkból rá kell jönnünk, hogy egy pont illeszkedik-e egy egyenesre, vagy egy síkra, vagy akár egy egyenes rajta van-e egy síkon. Ez azért is fontos, mert nem csak ilyen döntéseket kell hoznunk, hanem a feltételeket használva újabb elemeket ábrázolhatunk. Például egy síkidomból levághatunk egy darabkát, vagy lyukat vághatunk a közepére, de a metszéseknek is ez lesz majd az alapja. 

Egy pont egyenesre való illesztésekor fontos, hogy mindkét képen látható legyen az "illeszkedik" helyzet, vagyis a pont első képe az egyenes első képére, a pont második képe az egyenes második képére illeszkedjen, és természetesen a pont képeit rendezővel tudjuk összekötni. 

Egy egyenes síkra való illesztése már bonyolultabb, ugyanis az már ismert elemekhez kell "ragasztanunk" az újabbat. A síkot úgy kell tekinteni, mintha egy átlátszó fólia lenne, amelyre rajzolhatunk. A síkot a Monge-rendszerben pl. egy metsző egyenespárral megadva minden újabb egyenes az adott egyenesekkel alkotott metszéspontjai által rögzíthető! Vagy az is előfordulhat, hogy valamelyik ismert egyenessel párhuzamos, akkor ezt a párhuzamosságot látni fogjuk. Ezzel a technikával előbb-utóbb egy pókhálószerű vonalrendszert kapjuk. És végül ha pontot akarunk illeszteni síkra, akkor azt csak úgy tehetjük meg, ha először keresünk egy olyan síkbeli egyenest, amelyre a pontot rá tudjuk tenni. Emlékeznek a pókhálós példámra? A képek benne vannak a diasorban.

És végül vetítősíkkal metszettünk más alakzatokat: egyenest is és másik síkot is. Ebben az volt a lényeg, hogy a vetítő sík az egyik képen egy vonalban látszódik, és így jól be lehet azonosítani, hogy mi van az egyik vagy másik oldalán, és hol alakulnak ki metszések. Erre mutatok egy példát:

A használt diasorok elérhetők a következő linkeken:

• Diasor1 (Bevezetés, alapvető ábrázolási ismeretek) 
• Diasor2 (Illeszkedéssel kapcsolatos ismeretek) 
• Diasor3 (Metszés egyszerűbb esetei, vetítősíkkal történő metszés)

Munkalapok:

• Munkafüzet2024 1.-9. oldalai
   

Emlékeztető a térelemek ábrázolásához (videók)

• Pontok ábrázolása (azonosítása) a Monge-rendszerben
• Egyenesek ábrázolása
• Síkok ábrázolása
• Egyenes és sík, valamint két sík metszése egyszerűbb esetekben 

 

 

Forgásfelületek és metszésük egyenessel (2023)

A forgásfelületek elnevezés egy összefoglaló név minden olyan felületre, amely egy görbe egy adott tengely körüli megforgatásával keletkezik. A forgatás az egyik gyakran alkalmazott módszer különböző formák alakjának modellezésére, a szoftverek többnyire Rotate, Revolution, Revolved Boss/Base parancsokat használnak a generálásukra.

Felületek előállítását szemléltető eszköz a MoMath matematikai múzeumban.

Ha a megforgatandó görbe alakját figyeljük, akkor az többnyire egy hullámzó vonal lehet, ha pl. egy váza formáját keressük. De mérnöki alkalmazásokban alapelemként olyan felületeket használnak, melyek egyenes vagy kör megforgatásával keletkeznek. 

Letölthető anyagok:

• Diasor 
• Munkafüzet2023 45.-50. oldala
• A diasor animált ábrái elérhetők ITT  

A henger és a kúp vonalfelületek, ami azt jelenti, hogy a felület minden pontján áthalad egy egyenes, vagy annak egy szakasza. Az ábrázolásoknál kerüljük a végtelenbe futó felületdarabokat, ezért mindig adott magasságú hengerrel és kúppal fogunk találkozni. Jellemzőjük, hogy síkba fejthetők, azaz síklapra szerkesztett hálójuk alapján papírmodelljeik előkészítők.

 A henger és a kúp  esetén közös tulajdonság az, hogy a felületi pontok keresése kétféle módszerrel valósítható meg: paralelkörrel vagy alkotóval. Az alkotó megjelenítése ahhoz hasonló, amikor a hasáb/gúla oldalélét rajzoltuk meg. És ez nem véletlen, hiszen ha növeljük a hasáb/gúla oldaléleinek és ezzel az oldallapjainak a számát, akkor az oldalfelület elkezd kisimulni, és végül hengert/kúpot kapunk.

A paralelkör megjelenése ahhoz hasonló, amikor a hasábokat/gúlákat egy adott magasságban elmetszettük egy vízszintes síkkal. A henger esetén mindig azonos méretű metszeteket kapunk, míg a kúp esetén a csúcs felé haladva egyre kisebbeket. Ezek a modern mászókák elég jól szemléltik ezt a tényt.

Nagyon fontos, hogy minden felületi ponton át egy alkotó és egy paralelkör vehető fel!


A gömb és a tórusz kör megforgatásával keletkezik, a gömb esetén a forgástengely áthalad a kör középpontján, míg a tórusz esetében nem. A felületi pontok megadásakor a meridiánmetszet nem igazán használható, mivel ezek többnyire ellipszisként látszanának. Így csak a forgástengelyre merőleges metszetek, azaz a paralelkörök használhatók.
A tórusz esetén többnyire a lyukas "változatát" ábrázoljuk, amely hasonlít az úszógumi, biciklibelső formájához, vagy éppen az amerikai fánk alakjához.

A  tórusz felületére való pontillesztést az 1. képről indítva is szerkeszthetjük.  A lépéseket bemutató videó elérhető itt..

Továbbá fontos, hogy emlékezzünk arra, hogy a gömb bármely síkmetszete kör, csaknem minden esetben fog körnek látszani. Ha a metsző sík egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor a metszet vetülete ellipszis lesz.
Ha már a modern mászókákat hívtam segítségül, akkor megmutatom,hogy milyen volt a gyermekkorom játszótere. Ilyen gömbmászókán lógtunk, ha a rakétát a fiúk elfoglalták:

A hosszanti cikkek (olyanok,mint a narancsgerezdek) határai éppen a meridiánmetszetek, és néhány magasságban megvannak a paralelkörök is. A mászóka fokai pedig egyenes szakaszokkal íveket helyettesítettek.
Hasonló ötlet 48. oldal feladatának megoldást szemlélteti. És mi is a lényeg? Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest.

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Ha függőleges síkkal metszünk, akkor a metszet könnyen leforgatható. Az alábbi animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif 

Ebben az esetben kérdés:
Milyen magasan kell keresni a gömbből függőleges síkkal metszett  kör középpontját? Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

Hasznos segítség:

• Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat (IX. és X fejezet),melyeket elérthet ezen a  linken
  
• Gömb metszése vetítősíkkal + feladatlap
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Rögzített gyakorlat 2021-ből

 

Síkok metszése egyenessel, láthatóság (2023)

Az ismétlés során eljutottunk odáig, hogy két síkot el tudtunk metszeni egymással, ha az egyikük vetítőhelyzetben van. De ez egy speciális helyzet, és a problémát általánosan is jó lenne megoldani. Vagyis feltehető a következő kérdés:

Mit kellene tudnunk ahhoz, hogy bármilyen helyzetű két síkot (=síklapot) el tudjunk metszeni?

Például nagyon jó lenne, hal egy általános helyzetű síkot és egy általános helyzetű egyenest el tudnánk metszeni egymással. A megoldási menet nem látszik az alábbi ábrán, csak a végeredmény. Az M pontban kell átszúrni az egyenest a síkon. A szúrás(=döfés, =metszés)pontban az egyenes láthatósága váltani fogannak megfelelően, hogy az egyenes mely része van a síklap fölött/alatt a felülnézetben, és mely része van a síklap előtt/mögött a szemből nézetben. A láthatóság eldöntésénél majd mindig a másik  kép lesz a segítségünkre.

Fedő egyenespár módszere

Általános helyzetű térelemek esetében a fedő egyenespár módszerét alkalmazhatjuk. Ennek az lesz a lényege, hogy az elképzeljük az egyenes egyik vetítősíkját, és azzal az adott síkba metszünk. Ekkor egy olyan egyenest kapunk, amely az adott egyenes alatt/fölött halad, és közben át is metszi azt.
Ez ábrán a V1 első vetítősíkot választottam, amely az m egyenesben metszi a háromszöglap síkját. Az első képen (felülnézetben) az adott egyenes és az m egyenes ugyanabban  a vonalban látszik, míg a 2. képen (szemből nézetben) azt látjuk, hogy hogy az e és m egyenesek metszőek. Ezt a metsző helyzetet természetesen bármely oldalnézet is megmutatná.

Hasonló helyzetet szemléltet az alábbi forgatható ábra is:

 

 

Lényeg: két egyenes az egyik képen fedi egymást, a másik képen pedig nem. A számunkra fontos metszéspont ezen az utóbbi képen jeleneik majd meg hamarabb,  a másikra rendezővel fogjuk vetíteni.

 

A módszernek van egy "fordított" verziója is,  melyet második fedőegyenes módszernek nevezünk. Ennek a lényege, hogy a feladatban szereplő egyenesre második vetítősíkot illesztünk és először ennek az eredeti síkkal való metszését szerkesztjük meg. Az 1. képen jelölhető ki a keresett döféspont a két egyenes metszéspontjaként:

 

Mindegy, hogy melyik módszert alkalmazzuk egy adott feladatban, ugyanazt a metszéspontot fogjuk kapni eredményül!

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2023  (10.-11. oldal)
• Fedőegyenes módszer alkalmazása (videó)
  

További ábrák:

Síklap és egyenes metszése 2. fedőegyenes alkalmazásával. Az ábrában nincs feltüntetve az x12 képsíktengely, ennek ellenére a rendezők beállnak egymással párhuzamos helyzetbe.(Forrása: Sulinet tudásbázis)