Boltozatok szerkesztése

Az utolsó témánk a boltozatszerkesztés, melyben hengereket és gömböket használunk különböző terek lefedésére.  A legegyszerűbb a téglalap alakú terület lefedésére használatos dongaboltozat, illetve a kör alakú terület lefedésére használatos gömbkupola. Először a félgömb vágásával nyerjük a cseh- és a csehsüvegboltozatot, majd a félhengerek áthatásával a kereszt- és kolostorboltozatot. De ezek csak az alapot adják az összetett boltozatok kialakításához.Szabálytalan terek lefedésével és különböző szélességű folyosókat lefedő dongaboltozatok összemetsződésével találkozhatunk.

A félgömbből síkmetszéssel nyert boltozatok:

Cseh boltozat	Cseh süvegboltozat	Csegelyes kupola

Hengerből áthatással nyert boltozatok:

Keresztboltozat	Kolostorboltozat

Szükségesek:

• Diasor
  
• Munkafüzet2025, 66. oldalától a végéig

Szemléltető videók:

További segédanyag: 

• Hallgatói munkák
• A GeomTech3D projekt keretében készült segédanyag (a szöveg horvát nyelvű, de az ábrák szemléletesek.) 
• A dongaboltozatok áthatásával keletkező boltozat szerkesztésének lépései táblaképek alapján
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Boltozat szemléltetése naranccsal 

Forgásfelületek áthatása

Letölthető anyagok:

• Diasor 11 és Diasor 12
• A vetített diasorban szereplő animált ábra: kúp és henger áthatása
  
• Munkafüzet2025 56-65. oldalai

Ez a témakör a korábbi síklapú testek áthatása témakör továbbgondolása, ugyanis legvégül minden forgásfelület (de a szépen hullámzó ún. szabad formájú felületek is) poliéderekkel vannak közelítve a megjelenítések vagy az előállítások során. Ahhoz, hogy kezelhetők legyenek, bizonyos metszeteket kell ismernünk.
Az áthatásszerkesztés módszerei és ötletei attól függhetnek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest hogyan helyezkednek el.

1. Egybeeső tengelyek

esetén a felületek  paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó kört (köröket).(Lásd Mf. 56. oldala)

2. Párhuzamos tengelyek 

esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek. Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban megmutassák az áthatási görbe formáját. (Lásd 57-61. oldalak)
Az áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban, legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletelősíkokkal tudjuk meghatározni. Ilyen helyzetet szemléltet az alábbi videó, amely 59. oldal feladatának a modelljén mutatja be a szeletelő eljárást.

A 60. oldal feladatának különlegessége, hogy a gömb érinti a kúpot. Ez azért érdekes helyzet, mert ebben a pontban kialakul egy ún. kettőspont. A görbén végighaladva ezen a ponton irányváltás nélkül jutunk át. A görbe futásának érzékeléséhez érdemes a 61. oldalon az áthatási vonalon 10-15 pontot beazonosítani és azokat az eredeti felületekkel együtt transzformálni.
A bal oldali ábra a modellt, a jobb oldalin a felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik:

3. Metsző helyzetű tengelyek

esetében olyan példákat fogunk látni, ahol a tengelyek merőlegesek egymásra. Miért jó ez? Ez egy igen fontos könnyítés egy álló forgásfelület és egy fekvő helyzetű henger esetén, mert így hengert vízszintes síkokkal könnyen tudjuk alkotókban metszeni.
A módszerünk:

SZELETELÉS !!!

Már nem azon kell gondolkodnunk, hogy mi a szeletelés, hanem alkalmazni azt SOKSZOR. Ezzel lehet biztosítani, hogy nagyon közel lesznek megszerkesztett pontok, amiket össze kell kötni. De látatlanban nem lehet megtanulni azt, hogy milyen is lesz egy áthatási vonal futása, ezért lássunk néhány példát:

Ez a két henger egyenlő sugarú és a tengelyeik metsző helyzetben vannak. Alapban bárhogy elhelyezkedhetnek a térben, ezeken a képeken "fekvő" helyzetben vannak. Vagyis így, ahogy vannak, le lehet tenni őket az asztalra és egy lappal le lehet fedni őket. A geometria nyelvén ez azt jelenti, hogy alulról és felülről ugyanaz a síkpár érinti mindkét hengert → a legalsó és a legfelső alkotók metszéspontjaiban  a hengerek érintik egymást, és az áthatási vonal szétesik két ellipszisre. Ezek vonala a fenti képeken nagyon szépen kirajzolódik. Az ellipszisek síkjai egymásra merőlegesek, felülről nézve X-et formáznak. Ezzel a helyezettel még fogunk találkozni a Boltozatok témánál.

Ha az előbbi helyzeten csak annyit változtatunk, hogy csökkentjük a sugarát, akkor a fentebb említett érintkezést alul is és felül is elrontjuk. Egyszerűen a sárga henger vastagabb, a szürke vékonyabb és csak amiatt marad meg a levegőben, mert átdugtuk a sárga hengeren.

Ilyenkor az áthatásvonala két különálló zárt vonalból áll. Ezek szimmetrikusan helyezkednek el és kb olyasmi tekeredésük van, mint a Pringles csipsz peremének.

A PEREMet kell figyelni, és nem a csipsz felületét! A lényeg, hajlása van felfelé és lefelé is.

Hogyan érdemes szeletelni?

Az előbbi esetekben a forgástengelyek síkja mindkét felületnek szimmetriasíkja. Egy ilyen szeletelő síkban a hengerekből egy-egy alkotópárt találunk, melyek összesen 4 metszéspontot határoznak meg.

Vagyis a teendő: minél többször felvenni ilyen szeletelő síkot és négyesével megszerkeszteni a pontokat. Gyors és egyszerű eljárás! A munkafüzet 62. oldalán a vastagabb henger álló helyzetben van és a vékonyabb vízszintesen fúrja át. Ez azt jelenti, hogy ott a szeletelősíkjaink függőleges helyzetűek leszek, egészen pontosan a K2-vel párhuzamosak.

Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is. Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk. Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők. Valahogy így: 

Ez is gyors módszer, mint ahogy a képen is látszik, egy lépésben 4 pontot tudunk előállítani.

4. Kitérő helyzetű tengelyek

Ha a tengelyeket a metsző helyzetből elmozdítjuk, akkor kitérő tengelyeket kapunk. Kitérő tengelyek esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni. Ebben a szemléltető példában egy fekvő henger és függőleges tengelyű kúp került áthatásra. A szerkesztést megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk. És ebben a helyzetben a szeletelést vízszintes síkokkal érdemes elvégezni, mert akkor a kúpból kimetszett kört két hengeralkotóval kell összemetszeni.

A 65. oldal feladatában a henger a K2 képsíkra merőleges, így nem kell transzformálni.

További segédanyag:

• Részlet Pethes Endre: 222 ábrázoló geometria feladat c. könyvéből. (XI. fejezet)
• gyakorló feladatok
• Illetve a jobb oldalon ajánlott irodalomból az Ábrázoló geometria szemléletesen című könyv megfelelő fejezete
• hallgatói munkák
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• A blog vendégposztjai közül:  Hengerek áthatása és Kúpok és hengerek áthatása

Gúlák és hasábok áthatása - amikor a hasáb nincs vetítő helyzetben

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Transzformáció, mellyel elérhető, hogy egy hasáb élei (oldallapjai) az új képsíkra merőlegesek legyenek. Ebben az új nézetben eldönthető, hogy hány pont határozza meg az áthatási töröttvonalat.
  
• Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (67. oldaltól)
  
• Munkafüzet2025  38-39. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket nem részletezném, mert már megtanultuk. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Gyakorló feladat:

• Egy feladat (Gyakorló feladatok / Hasábok és gúlák áthatása / 8. oldal) megoldása, ahol a hasáb vízszintes éleivel való metszéseket vízszintes vágásokkal szerkesztették és nem azzal a módszerrel, hogy a hasáb lapot hosszabbítottuk meg. A megoldás után a test lapjait különböző színekkel jelölték, ami segít abban, hogy melyik lapot láthatjuk.A kék, barna, piros lapok mindkét képen látszanak, a sárga és a zöld pedig hátrafelé fordulnak, így nem láthatók szemből.
  
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken, lépésekben:

Síklapú testek áthatása - két feladat, melyben van vetítő helyzetű hasáb

Az áthatási feladatok megoldási menete:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok/Segédanyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2025 32-37. oldala
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva
• Szemléltető videók ebben a lejátszási listában  találhatóak.

32. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

A témakör Bevezető feladatához képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

 

==================================================

==================================================

 35. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

Tevékenységlista erre a feladatra megfogalmazva:

• A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

• Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

        Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 1-2-es oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre. 
• Egy korábbi gyakorlaton a két  hasáb egyesítésével keletkező test láthatóságát jelöltük. Nem a diasort léptettem, hanem a képernyőre rajzolva jelenítettem meg a láthatóságot. Volt olyan részlet, ahol az oldalél takartságáról döntöttünk az alapján, hogy a másik hasáb takarja-e. Végül néhány látható lapot színezéssel ábrázoltunk. Ekkor minden nyomtatott és szerkesztett vonalnak, amely "lefestést" kapott át kell váltania szaggatottra. Ezt itt most nem minden esetben láthatjuk, mert a színezés a kivetített dián teljes fedést adott. Az órái ábrán annyit javítottam, hogy a látható éleket vastagabban rajzoltam át.
  

 

További segítség:

•  Megoldott feladat, amely nagyon hasonlít a mostanihoz: