Amit már tudunk (ismétlés)

Ezt a félévet úgy kezdjük, hogy a Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás alapjait már vettük az Ábrázolási alapismeretek kurzusban. Akkor ott fejeztük be, hogy vetítősíkkal metszettünk egyenest és síkot is. Ez a bejegyzés egy összefoglaló ezektől az ismeretekről. Ebben a bejegyzésben röviden összefoglalom, hogy miről van ismeretünk.

Ebben a félévben főként a Monge-rendszert fogjuk használni, amelyben egyszerre kell dolgoznunk egy alakzat elöl- és felülnézetével. A vetületekből kell majd következtetnünk az alakzatok térbeli helyzetére, a képsíkokhoz viszonyított helyzetükre. A rendszerünkben a K1 képsík fölött és a K2 képsík előtt helyezzük el az alakzatokat.

Alapfogalmak, melyekről korábban szó volt: képsíkrendszer, rendező, térnegyedek, pontok ábrázolása a térnegyedekben, pont távolsága a képsíkoktól. Ábrázoltunk térelemeket, melyek a képsíkokhoz képest lehetnek speciális helyzetben. Ez a képsíkkal való párhuzamosságot és a képsíkra merőleges helyzetet jelenti.

Forrás: Sokszínű matematika 5. osztály

Mi az európai ábrázolási rendszert használjuk. A vetületi ábrázoláskor az alakzatot egymásra merőleges képsíkok által határol „szobasarokba” helyezzük, majd a síkokra merőlegesen vetítjük. A vetítés után a képsíkokat kihajtogatjuk a vetületekkel együtt. A mi Monge-rendszerünk csak két képet használ, a fenti kismackós szemléltetésből csak a szemből- és felülnézetével dolgozunk, és csak szükség esetén fordulunk az oldalnézethez.

Az ábráinkból rá kell jönnünk, hogy egy pont illeszkedik-e egy egyenesre, vagy egy síkra, vagy akár egy egyenes rajta van-e egy síkon. Ez azért is fontos, mert nem csak ilyen döntéseket kell hoznunk, hanem a feltételeket használva újabb elemeket ábrázolhatunk. Például egy síkidomból levághatunk egy darabkát, vagy lyukat vághatunk a közepére, de a metszéseknek is ez lesz majd az alapja. 

Egy pont egyenesre való illesztésekor fontos, hogy mindkét képen látható legyen az "illeszkedik" helyzet, vagyis a pont első képe az egyenes első képére, a pont második képe az egyenes második képére illeszkedjen, és természetesen a pont képeit rendezővel tudjuk összekötni. 

Egy egyenes síkra való illesztése már bonyolultabb, ugyanis az már ismert elemekhez kell "ragasztanunk" az újabbat. A síkot úgy kell tekinteni, mintha egy átlátszó fólia lenne, amelyre rajzolhatunk. A síkot a Monge-rendszerben pl. egy metsző egyenespárral megadva minden újabb egyenes az adott egyenesekkel alkotott metszéspontjai által rögzíthető! Vagy az is előfordulhat, hogy valamelyik ismert egyenessel párhuzamos, akkor ezt a párhuzamosságot látni fogjuk. Ezzel a technikával előbb-utóbb egy pókhálószerű vonalrendszert kapjuk. És végül ha pontot akarunk illeszteni síkra, akkor azt csak úgy tehetjük meg, ha először keresünk egy olyan síkbeli egyenest, amelyre a pontot rá tudjuk tenni. Emlékeznek a pókhálós példámra? A képek benne vannak a diasorban.

És végül vetítősíkkal metszettünk más alakzatokat: egyenest is és másik síkot is. Ebben az volt a lényeg, hogy a vetítő sík az egyik képen egy vonalban látszódik, és így jól be lehet azonosítani, hogy mi van az egyik vagy másik oldalán, és hol alakulnak ki metszések. Erre mutatok egy példát:

A használt diasorok elérhetők a következő linkeken:

• Diasor1 (Bevezetés, alapvető ábrázolási ismeretek) 
• Diasor2 (Illeszkedéssel kapcsolatos ismeretek) 
• Diasor3 (Metszés egyszerűbb esetei, vetítősíkkal történő metszés)

 

Síklapú testek áthatása 4. (2021)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet 42.-43. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A 4. feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket most nem részletezem. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a diasorban a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Hasonló feladat:

• Egy feladat megoldása, ahol a test lapjai színesek
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken: