Letölthető anyagok:
Ebben a témakörben 1 gyakorlat erejéig forgásfelületek áthatásával
foglalkozunk. Ez a témakör a korábbi síklapú testek áthatása témakör
továbbgondolása, ugyanis legvégül minden forgásfelület (de a szépen
hullámzó ún. szabad formájú felületek is) poliéderekkel vannak közelítve
a megjelenítések vagy az előállítások során. Ahhoz, hogy kezelhetők
legyenek, bizonyos metszeteket kell ismernünk.
Az áthatásszerkesztés módszerei és
ötletei attól függhetnek, hogy a felületek tengelyei egymáshoz képest
hogyan helyezkednek el. Ezen a gyakorlaton az
egybeeső és a párhuzamos tengelyű forgásfelületekkel foglalkozunk
Egybeeső tengelyek
esetén a felületek paralel körökben metszik egymást. A meridiángörbék
közös pontjait kell keresni, ezek forgatásával nyerjük az áthatást adó
kört (köröket).
Párhuzamos tengelyek
esetén megadott felületeket a tengelyükre merőlegesen szeleteljük. Egy
ilyen szeletelősíkban mindkét felület egy-egy (ritkán több) paralel köre
rajzolódik ki. Ezek közös pontjai az áthatási görbe pontjai lesznek.
Célszerű elég sűrűn szeletelni, hogy a kapott pontok minél jobban
megmutassák az áthatási görbe formáját.
Az
áthatási görbének vannak szélső helyzetű (legmagasabban,
legalacsonyabban lévő), kontúron lévő és a felületek közös
szimmetriasíkjában lévő pontjai, ezeket jól választott szeletelősíkokkal
tudjuk meghatározni. Ilyen helyzetet szemléltet az alábbi videó, amely
66. oldal feladatának a modelljén mutatja be a szeletelő eljárást.
A 67. oldal: feladatának különlegessége, hogy a gömb érinti a kúpot. Ez
azért érdekes helyzet, mert ebben a pontban kialakul egy ún.
kettőspont. A görbén végighaladva ezen a ponton irányváltás nélkül
jutunk át. Az alábbi képek ezt a helyzetet szemléltetik többféle
nézőpontól. (
További képek a feladat modelljéről)
A bal oldali ábra a modellt, a jobb oldalin a felületek kikapcsolva, csak a kontúrok, perem, és az áthatási görbe látszik:
Ha a modell belülről üreges, akkor beleláthatunk, és ekkor onnan figyelhető meg az áthatás vonala. A másik képen szeletelés egy lépése látszik: mindkét testből paralel kört metszünk, ezek közös pontjai az áthatási görbe két pontját adják.
Amikor a két felület forgástengelye metsző vagy kitérő helyzetben van egymáshoz képest, akkor a módszerek és
ötletek is alkalmazkodnak ezekhez a helyzetekhez, bár az is igaz, teljesen általános helyzetekkel nem fogunk találkozni.
Pl. A forgástengelyek egymásra merőleges helyzetben lesznek. Ez egy igen
fontos könnyítés, mert így egy fekvő helyzetben lévő henger vízszintes
síkokkal is könnyen szerkeszthető metszeteket ad.
A módszerünk:
SZELETELÉS !!!
A kurzus végén már nem azon kell gondolkodni, hogy mi a szeletelés, hanem alkalmazni azt
SOKSZOR.
Ezzel lehet biztosítani, hogy nagyon közel lesznek megszerkesztett
pontok, amiket össze lehet/kell kötni. De látatlanban nem lehet
megtanulni azt, hogy milyen is lesz egy áthatási vonal futása, ezért
lássunk néhány példát:
Ez a két henger egyenlő sugarú és a tengelyeik metsző helyzetben vannak.
Alapban bárhogy elhelyezkedhetnek a térben, ezeken a képeken "fekvő"
helyzetben vannak. Vagyis így, ahogy vannak, le lehet tenni őket az
asztalra és egy lappal le lehet fedni őket. A geometria nyelvén ez azt
jelenti, hogy alulról és felülről ugyanaz a síkpár érinti mindkét
hengert → a legalsó és a legfelső alkotók metszéspontjaiban a hengerek
érintik egymást, és az árhatási vonal szétesik két ellipszisre. Ezek
vonala a fenti képeken nagyon szépen kirajzolódik. Az ellipszisek síkjai
egymásra merőlegesek, felülről nézve X-et formáznak. Ezzel a
helyezettel még fogunk találkozni a Boltozatok témánál.
Ha az előbbi helyzeten csak annyit változtatunk, hogy csökkentjük a
sugarát, akkor a fentebb említett érintkezést alul is és felül is
elrontjuk. Egyszerűen a sárga henger vastagabb, a szürke vékonyabb és
csak amiatt marad meg a levegőben, mert átdugtuk a sárga hengeren.
Ilyenkor az áthatásvonala két különálló zárt vonalból áll. Ezek
szimmetrikusan helyezkednek el és kb olyasmi tekeredésük van, mint a
Pringles csipsz peremének.
A
peremet kell figyelni, és nem a csipsz felületét! A lényeg, hajlása van felfelé és lefelé is.
Hogyan érdemes szeletelni?
Az előbbi esetekben a forgástengelyek síkja mindkét felületnek
szimmetriasíkja. Egy ilyen szeletelő síkban a hengerekből egy-egy
alkotópárt találunk, melyek összesen 4 metszéspontot határoznak meg.
Vagyis a teendő: minél többször felvenni ilyen szeletelő síkot és
négyesével megszerkeszteni a pontokat. Gyors és egyszerű eljárás! A
munkafüzet 69. oldalán a vastagabb henger álló helyzetben van és a
vékonyabb vízszintesen fúrja át. Ez azt jelenti, hogy ott a
szeletelősíkjaink függőleges helyzetűek leszek, egészen pontosan a
K2-velpárhuzamosak.
Az előbbi hengereket szeletelhetjük az egyik tengelyre merőlegesen is.
Ekkor az egyik hengerből paralel kört, a másikból alkotópárt metszünk.
Az egy szeletelősíkban lévő metszetek közös pontjai kijelölhetők. Valahogy így:
Ez is gyors módszer, mint ahogy a képen is látszik, egy lépésben 4 pontot tudunk előállítani.
Ha a tengelyeket a metsző helyzetből elmozdítjuk, akkor kitérő tengelyeket kapunk.
Kitérő tengelyek
esetén általában az egyik tengelyre merőlegesen érdemes szeletelni.
Ebben a szemléltető példában egy
fekvő henger és függőleges tengelyű kúp került áthatásra. A szerkesztést
megkönnyíti, ha a hengert vetítő helyzetűvé transzformáljuk. És ebben a
helyzetben a szeletelést vízszintes síkokkal érdemes elvégezni, mert
akkor a kúpból kimetszett kört két hengeralkotóval kell összemetszeni.
A 72. oldal feladatában a henger a K2 képsíkra merőleges, így nem kell transzformálni.
Itt a szerkesztés lépései talán jobban látszanak:
Találtam egy galériát, ahol a 4 évvel ezelőtti gyakorlaton a
táblaképeket megőriztem. Így a szerkesztés néhány lépése követhető itt:
https://drive.google.com/open?id=0B_XPtCdn7YKzcnNpdXpIMXRjSDQ
További segédanyag:
- Részlet Pethes Endre: 222 ábrázoló geometria feladat c. könyvéből. (XI. fejezet)
- gyakorló feladatok
- Illetve a jobb oldalon ajánlott irodalomból az Ábrázoló geometria szemléletesen című könyv megfelelő fejezete
- hallgatói munkák
Vendégposztok:
