Kúp és henger metszése síkkal

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2025  52-54. oldalak
• Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
  

Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:

•  Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:

Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:

Forrás: Wikipédia

A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön megemlíteni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:

Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/

A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

További segédanyagok:

• Gyakorlat 2020-ból
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Forgásfelületek keletkezése és metszésük egyenessel

A forgásfelületek elnevezés egy összefoglaló név minden olyan felületre, amely egy görbe egy adott tengely körüli megforgatásával keletkezik. A forgatás az egyik gyakran alkalmazott módszer különböző formák alakjának modellezésére, a szoftverek többnyire Rotate, Revolution, Revolved Boss/Base parancsokat használnak a generálásukra.

Felületek előállítását szemléltető eszköz a MoMath matematikai múzeumban.

Ha a megforgatandó görbe alakját figyeljük, akkor az többnyire egy hullámzó vonal lehet, ha pl. egy váza formáját keressük. De mérnöki alkalmazásokban alapelemként olyan felületeket használnak, melyek egyenes vagy kör megforgatásával keletkeznek. 

Letölthető anyagok:

• Diasor 
• Munkafüzet2025 45.-50. oldala
• A diasor animált ábrái elérhetők ITT  

A henger és a kúp vonalfelületek, ami azt jelenti, hogy a felület minden pontján áthalad egy egyenes, vagy annak egy szakasza. Az ábrázolásoknál kerüljük a végtelenbe futó felületdarabokat, ezért mindig adott magasságú hengerrel és kúppal fogunk találkozni. Jellemzőjük, hogy síkba fejthetők, azaz síklapra szerkesztett hálójuk alapján papírmodelljeik előkészítők.

 A henger és a kúp  esetén közös tulajdonság az, hogy a felületi pontok keresése kétféle módszerrel valósítható meg: paralelkörrel vagy alkotóval. Az alkotó megjelenítése ahhoz hasonló, amikor a hasáb/gúla oldalélét rajzoltuk meg. És ez nem véletlen, hiszen ha növeljük a hasáb/gúla oldaléleinek és ezzel az oldallapjainak a számát, akkor az oldalfelület elkezd kisimulni, és végül hengert/kúpot kapunk.

A paralelkör megjelenése ahhoz hasonló, amikor a hasábokat/gúlákat egy adott magasságban elmetszettük egy vízszintes síkkal. A henger esetén mindig azonos méretű metszeteket kapunk, míg a kúp esetén a csúcs felé haladva egyre kisebbeket. Ezek a modern mászókák elég jól szemléltetik ezt a tényt.

Nagyon fontos, hogy minden felületi ponton át egy alkotó és egy paralelkör vehető fel!


A gömb és a tórusz kör megforgatásával keletkezik, a gömb esetén a forgástengely áthalad a kör középpontján, míg a tórusz esetében nem. A felületi pontok megadásakor a meridiánmetszet nem igazán használható, mivel ezek többnyire ellipszisként látszanának. Így csak a forgástengelyre merőleges metszetek, azaz a paralelkörök használhatók.
A tórusz esetén többnyire a lyukas "változatát" ábrázoljuk, amely hasonlít az úszógumi, biciklibelső formájához, vagy éppen az amerikai fánk alakjához.

A  tórusz felületére való pontillesztést az 1. képről indítva is szerkeszthetjük.  A lépéseket bemutató videó elérhető itt..

Továbbá fontos, hogy emlékezzünk arra, hogy a gömb bármely síkmetszete kör, csaknem minden esetben fog körnek látszani. Ha a metsző sík egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor a metszet vetülete ellipszis lesz.
Ha már a modern mászókákat hívtam segítségül, akkor megmutatom,hogy milyen volt a gyermekkorom játszótere. Ilyen gömbmászókán lógtunk, ha a rakétát a fiúk elfoglalták:

A hosszanti cikkek (olyanok,mint a narancsgerezdek) határai éppen a meridiánmetszetek, és néhány magasságban megvannak a paralelkörök is. A mászóka fokai pedig egyenes szakaszokkal íveket helyettesítettek.
Hasonló ötlet 48. oldal feladatának megoldást szemlélteti. És mi is a lényeg? Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest.

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Ha függőleges síkkal metszünk, akkor a metszet könnyen leforgatható. Az alábbi animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif 

Ebben az esetben kérdés:
Milyen magasan kell keresni a gömbből függőleges síkkal metszett  kör középpontját? Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

Hasznos segítség:

• Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat (IX. és X fejezet),melyeket elérthet ezen a  linken
  
• Gömb metszése vetítősíkkal + feladatlap
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Gyakorlat (2021)