Ábrázoló geometriát tanítok: március 2025

2025. március 24., hétfő

Gúlák és hasábok áthatása - amikor a hasáb nincs vetítő helyzetben

Felhasznált korábbi ismeretek:

Transzformáció, mellyel elérhető, hogy egy hasáb élei (oldallapjai) az új képsíkra merőlegesek legyenek. Ebben az új nézetben eldönthető, hogy hány pont határozza meg az áthatási töröttvonalat.
Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Letölthető anyagok:

Diasor pdf-ben (67. oldaltól)
Munkafüzet2025 38-39. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket nem részletezném, mert már megtanultuk. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat.
Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

Inkább így oldjuk meg:

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

A szerkesztés folytatására a következőket ajánlom:

Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Gyakorló feladat:

Egy feladat (Gyakorló feladatok / Hasábok és gúlák áthatása / 8. oldal) megoldása, ahol a hasáb vízszintes éleivel való metszéseket vízszintes vágásokkal szerkesztették és nem azzal a módszerrel, hogy a hasáb lapot hosszabbítottuk meg. A megoldás után a test lapjait különböző színekkel jelölték, ami segít abban, hogy melyik lapot láthatjuk.A kék, barna, piros lapok mindkét képen látszanak, a sárga és a zöld pedig hátrafelé fordulnak, így nem láthatók szemből.
Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken, lépésekben:

2025. március 17., hétfő

Síklapú testek áthatása - két feladat, melyben van vetítő helyzetű hasáb

Az áthatási feladatok megoldási menete:

Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok/Segédanyagok:

Diasor pdf-ben
Munkafüzet2025 32-37. oldala
Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva
Szemléltető videók ebben a lejátszási listában találhatóak.

32. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

A témakör Bevezető feladatához képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik.

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon:

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

==================================================

35. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

Tevékenységlista erre a feladatra megfogalmazva:

A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

Most az álló test éleivel kell belemetszeni a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 1-2-es oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!
A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.
Egy korábbi gyakorlaton a két hasáb egyesítésével keletkező test láthatóságát jelöltük. Nem a diasort léptettem, hanem a képernyőre rajzolva jelenítettem meg a láthatóságot. Volt olyan részlet, ahol az oldalél takartságáról döntöttünk az alapján, hogy a másik hasáb takarja-e. Végül néhány látható lapot színezéssel ábrázoltunk. Ekkor minden nyomtatott és szerkesztett vonalnak, amely "lefestést" kapott át kell váltania szaggatottra. Ezt itt most nem minden esetben láthatjuk, mert a színezés a kivetített dián teljes fedést adott. Az órái ábrán annyit javítottam, hogy a látható éleket vastagabban rajzoltam át.

További segítség:

Megoldott feladat, amely nagyon hasonlít a mostanihoz:

2025. március 15., szombat

Síklapú testek áthatása - Bevezetés

Ebben a témakörben hasábokat és gúlákat fogunk metszeni egymással. Nem minden helyzettel foglalkozunk, csak azokkal, amikor a hasáb oldalélei képsíkra merőleges helyzetűek.
De először nézzük általánosabban a feladatot. Az alábbi képeken egy álló helyzetű gúla és egy fekvő helyzetű hasáb összemetsződését látjuk. A színekkel jól megjeleníthető, hogy hogyan találkoznak egymással.

De nézzük meg alaposabban! Az egyik test éle bele tud metszeni a másik testbe és fordítva. Az alábbi képeken a zöld nyilak olyan pontra mutatnak, ahol a hasábéle metszi a gúla oldallapjait, és kék nyilak pedig a fordított helyzetet jelölik, amikor a gúlaélek metszik a hasáblapokat.

Az ilyen metszéspontok között jelenik a két poliéder áthatási vonala (a külső felületük összemetsződése), amely egy térbeli sokszög lesz. Ha a pontok meg is vannak, az összekötési sorrendjénél figyelnünk kell arra, hogy megfeleljen mindkét test körüljárásának, a testeket alkotó lapok metsződjenek össze és ne lépjük a testek belsejébe. Minden feladatot többféleképpen értelmezhetjük: a két test az összemetsződés után egy testté olvad össze (mint a felső ábrák), vagy az egyiküket eltávolítva a maradék csonkolt testet jelenítjük meg.
Tevékenységlista általánosan megfogalmazva:

Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok:

Diasor pdf-ben
Munkafüzet2025 28-31. oldala

Instrukciók:

A könnyen észrevehető pontok azok, melyek a gúla élek és hasáb lapok találkozásánál vannak.

Hasáb függőleges élei, mint egy-egy pálca, át fogják szúrni a gúla oldallapjait. Igazság szerint egészen az alaplapig leszúrnak, de most inkább azok a pontok érdekelnek, melyek a gúla oldallapjain keletkeznek. A diasorban azt mutattam meg, hogy két szomszédos függőleges él egy lapot határoz meg, és azt a lapot megnöveljük, vagy egyszerűen oda illesztünk egy nagyobb papírlapot, és mintha egy nagy kés lenne, belevágunk a gúlába. Pl. így

vagy így:

De mit is tudnak ezek a sárga síkok? Tartalmaznak két függőleges élt a hasábból és egy metszetet a gúlából. Mivel ezek ugyanabban a síkban vannak, a közös pontjaik kijelölhetők. Forgassa a fenti modelleket, hogy érezze, felülről nézve a metszetek egy-egy vonalnak látszanak, de máshonnan nézve négyszög vagy háromszög formát mutatnak. Ennek a szerkesztését mutatja a 4.-7. dia a szerkesztés 2. és 3.lépéseként.
Végül össze kell kötni a kapott pontokat. Most mindkét test álló helyzetben van, így egyszerre lehet mindkettőt körüljárni. A pontok sorrendjét a felülnézet mutatja, mert ott járhatjuk körül mindkét formát egyszerre. Bármely ponttal kezdhetjük a sort, mert úgy is vissza fogunk jutni oda. Akinek segít, először leírhatja a sorrendet. A diasorban pl. én is beírtam.

A sorrendet követve összekötjük a kapott pontokat. Ez a 2. képen ezt vonalsort adja. Eddig szólt a munkafüzet 31. oldala.

A láthatóság megállapításához segédábrákat készítettem,ebből most az 1.-4. oldalak kellenek. Egyet mutatok mintaként:

Forgatható ábrák

2025. március 11., kedd

Síklapú testek metszése egyenessel, síkkal, síklappal

A síklapú testek közül a hasábokkal és a gúlákkal kezdünk ismerkedni. A (többnyire az első képsíkon álló) testeket egyenesekkel és síkokkal (síklapokkal) fogjuk elmetszeni.

Ehhez nem kell mást ismerni, mint a korábbiakban megtanult döféspont és metszésvonal szerkesztést. Az elemek speciális helyzetének felismerése segíti, és gyorsítja a szerkesztést. A feladatok azért tűnnek nehezebbnek, mert egy ábrában több egyenes és több sík szerepel, és el kell igazodnunk közöttük. Most az eddigieknél is jobban kell használnunk a képzelőerőnket.

Forgatható modellek:

Interaktív ábra (GeoGebra)

A GeoGebra oldalán megjelenő munkalapok bizonyos adatai a csúszkákkal szabadon változtathatóak. Az egér bármely gombjának nyomva tartása mellett az egér mozgatásával a modell forgatható.

Gúla metszetének szemléltetése

Letölthető anyagok:

Diasor pdf-ben.
Munkafüzet2025 22-27. oldala
Útmutató a 26. oldal feladatához
kidolgozott feladatok
Táblakép a 27. oldal feladatáról:

Táblakép (2020. 11. 04.)
A képre kattintva nagyobb méretben is látszik.

Néhány vázlat:

2016-ban nem sikerült jól a táblai ábrám, mert a sík csak
az oldaléleket metszette. Érdemes összehasonlítani
a fenti, 2020-as változattal!

A 25. oldal felső feladata éppen azt akarja megmutatni, hogy ha eltérünk a nagyon tankönyvi hasáboktól és gúláktól azzal, hogy az alapjukat "megcsipkézzük", azaz konkáv alakzatot választunk, akkor több metszéspont is lehetséges. A munkafüzet feladata azért egyszerű, mert a hasáb oldallapjai függőleges helyzetűek, így az egyenessel alkotott közös pontok látszanak az 1. képen.
A gúlás eset már nem került be a munkafüzetbe, de érdemes megnézni, hogy itt úgy képzeljük, hogy az egyenes vonalában van egy Σ-val jelölt sík, amely egy kissé ferde metszetet készít a gúlából. Ez a metszet az 1. képen összemetsződik az egyenessel négy pontban. Mindkét képen ezek látható lapon keletkeztek, így nyomon lehet követni, ahogy az egyenes ki-be járkál a gúlából.

Ennél a feladatnál a gúla a csúcsára van állítva, így annak érdekében,hogy a lehető legtöbb részletet lássuk a síklappal való metszésből a tetején lévő négyzetlapot eltávolítjuk. Ez a metszést nem befolyásolja, de most láthatóvá válik a síklap középső része, amely a gúla belsejében van.

2025. március 3., hétfő

Szemléletes kép szerkesztése transzformáció alkalmazásával

A transzformáció lépéseivel már tisztában vagyunk, így most ezt az eszközt használjuk arra, hogy egy alakzatról szemléletesebb képet szerkesszünk. Általában egy hagyományos vetület (vetületi ábra) nem tudja jól szemléltetni az alakzatot, cserébe a főbb méretei könnyen leolvashatóak. A szemléletesebb kép érdekében a nézőpontunkat át kell helyezni, mint ahogy az ábrán a távcsöves kisfiú is változtatott a pozícióján.