Kúp és henger metszése síkkal (2023)

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2023  52-54. oldalak
• Egy kúp metszése lépésenként: alkotókkal és paralelkörökkel. (Érdemes letölteni és úgy léptetni az oldalakat Pdf megjelenítőben vagy böngészőben.)
  

Módszereinkben felhasználjuk a korábbi ismereteket:

•  Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a felületre alkotót illesztünk, akkor azt mindig az alapkör és a csúcspont közé kell rajzolnunk. Egy adott alkotón pont felvétele rendező egyenessel történik.
• Pont ábrázolása a kúp felületén: Ha a paralelkört illesztünk a felületre, akkor azt a forgástengely irányából (felülről) nézve valódi méretű körnek látjuk, míg szemből nézve egy átmérő hosszúságú szakasznak. Az így ábrázolt körvonalon rendezővel jelölhető pont. Az említett paralelkörök felülnézetben koncentrikus köröknek látszanak, de tudjuk, hogy különböző magasságokban vannak.
• Pont ábrázolása a henger felületén: Célszerű alkotókat választani, és azon adott magasságban választani a pontot. A hengeralkotók felülnézetben egyetlen pontnak látszanak.
• Transzformáció: annak érdekében, a metsző sík és a felület helyzetét jobban lássuk, célszerű olyan transzformációt alkalmazni, melyben a sík vetítősíkká válik. A módszer ismerős, a  síklapú testek metszésénél hasonló transzformációt alkalmaztunk.

Szeletelő módszer: a lényege, hogy egy forgásfelületet a tengelyére merőleges síkkal  metszve paralelkört (vagy köröket) kapunk, míg a felületet metsző síkot metszve egyenest. Minden ilyen szeletelő síkban a kimetszett alakzatok közös pontjai kijelölhetők. Ezzel a technikával a metszet nagyon sok pontja előállítható, melyeket görbe vonallal köthetjük össze.

Transzformációs módszer: a metsző síkot vetítősíkká transzformáljuk, és ezt a transzformációt a felületre is alkalmazzuk. A metsző sík jelöli ki a transzformáció irányát!  Ebben a speciális oldalnézetben könnyen kijelölhetők a metszet legmagasabban/legalacsonyabban lévő pontjai, de természetesen általánosabb helyzetű pontok is könnyen szerkeszthetők (különösen a henger és a kúp esetén).

Milyen pontokat keresünk?

• legmagasabban / legalacsonyabban fekvő pontokat (ha léteznek)
• a kontúrokon lévő pontokat
• a metszet (vagy a vetületének) nevezetes pontjait
• és annyi általános helyzetű pontot, hogy a metszet íve könnyen rajzolható legyen.

A szerkesztést könnyítheti, hogy a kúp is és a henger is egyenesekből álló felület. Egy-egy tetszőlegesen kiválasztott alkotóval az adott síkot metszve a keletkező görbe egy-egy pontját kapjuk.

Kúp metszete:

Ha olyan síkot veszünk, amely nem halad át a kúp csúcspontján, akkor az alábbi kép elég jól összefoglalja a lehetőségeket:

Forrás: Wikipédia

A fenti képen a metsző sík vetítősíknak látszik, és így maga a metszet is egy vonalként jelenik meg. Ha ez nem áll rendelkezésre, akkor transzformációval érdemes előállítani hasonló helyzetet. A lehetséges metszetek a következők:

• KÖR → a forgástengelyre merőleges síkkal
• ELLIPSZIS → minden alkotót metsző, de a tengelyre nem merőleges síkkal
• PARABOLA → egy alkotóval párhuzamos síkkal
• HIPERBOLA → két alkotóval párhuzamos síkkal

Természetesen, ha a metsző sík áthalad a kúp csúcspontján (és metszi is a palástot), akkor alkotópárt kapunk. Illetve a kúpot az alkotók hosszabbításával könnyen lehet ún. kettős kúppá alakítani. Ezt azért érdemes elképzelni, mert csak ekkor jön létre a hiperbolametszet mindkét ága. A metszetek változásait jól szemlélteti az alábbi animált ábra:

 Az előbbi ábra bizonyos pillanataiban lehet látni,hogy a metszet lehet alkotópár abban az esetben, a sík áthalad a kúp csúcspontján. Ezt érdemes külön kiemelni:

Ilyen egymás mögötti alkotókat akkor láttunk, amikor a kúp felületén pontokat ábrázoltunk.
Az alkotók segítségével kerül egy síkmetszet megszerkesztésre az alábbi videóban:

Henger metszete:

Forrás: http://ludens.elte.hu/~vima/

A henger esetén jóval kevesebb lehetőségünk van: ferde helyzetű síkkal metszve mindig ellipszist kapunk. Az ellipszis vetülete az 1. képen kör, míg a 2. képen ellipszis lesz. Ebben a videóban jól látszik, hogy ha a sík állása egyre jobban eltér a vízszintestől, akkor az ellipszis metszet alakja elkezd nyúlni. Illetve az ellipszis egy része létre sem jön, ha pl. a sík a henger fedőkörébe is bele tud metszeni.

Tapasztalatgyűjtéshez érdemes belenézni az alábbi videóba:

További segédanyagok:

• Rögzített gyakorlat 2020-ból
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
  

Forgásfelületek és metszésük egyenessel (2023)

A forgásfelületek elnevezés egy összefoglaló név minden olyan felületre, amely egy görbe egy adott tengely körüli megforgatásával keletkezik. A forgatás az egyik gyakran alkalmazott módszer különböző formák alakjának modellezésére, a szoftverek többnyire Rotate, Revolution, Revolved Boss/Base parancsokat használnak a generálásukra.

Felületek előállítását szemléltető eszköz a MoMath matematikai múzeumban.

Ha a megforgatandó görbe alakját figyeljük, akkor az többnyire egy hullámzó vonal lehet, ha pl. egy váza formáját keressük. De mérnöki alkalmazásokban alapelemként olyan felületeket használnak, melyek egyenes vagy kör megforgatásával keletkeznek. 

Letölthető anyagok:

• Diasor 
• Munkafüzet2023 45.-50. oldala
• A diasor animált ábrái elérhetők ITT  

A henger és a kúp vonalfelületek, ami azt jelenti, hogy a felület minden pontján áthalad egy egyenes, vagy annak egy szakasza. Az ábrázolásoknál kerüljük a végtelenbe futó felületdarabokat, ezért mindig adott magasságú hengerrel és kúppal fogunk találkozni. Jellemzőjük, hogy síkba fejthetők, azaz síklapra szerkesztett hálójuk alapján papírmodelljeik előkészítők.

 A henger és a kúp  esetén közös tulajdonság az, hogy a felületi pontok keresése kétféle módszerrel valósítható meg: paralelkörrel vagy alkotóval. Az alkotó megjelenítése ahhoz hasonló, amikor a hasáb/gúla oldalélét rajzoltuk meg. És ez nem véletlen, hiszen ha növeljük a hasáb/gúla oldaléleinek és ezzel az oldallapjainak a számát, akkor az oldalfelület elkezd kisimulni, és végül hengert/kúpot kapunk.

A paralelkör megjelenése ahhoz hasonló, amikor a hasábokat/gúlákat egy adott magasságban elmetszettük egy vízszintes síkkal. A henger esetén mindig azonos méretű metszeteket kapunk, míg a kúp esetén a csúcs felé haladva egyre kisebbeket. Ezek a modern mászókák elég jól szemléltik ezt a tényt.

Nagyon fontos, hogy minden felületi ponton át egy alkotó és egy paralelkör vehető fel!


A gömb és a tórusz kör megforgatásával keletkezik, a gömb esetén a forgástengely áthalad a kör középpontján, míg a tórusz esetében nem. A felületi pontok megadásakor a meridiánmetszet nem igazán használható, mivel ezek többnyire ellipszisként látszanának. Így csak a forgástengelyre merőleges metszetek, azaz a paralelkörök használhatók.
A tórusz esetén többnyire a lyukas "változatát" ábrázoljuk, amely hasonlít az úszógumi, biciklibelső formájához, vagy éppen az amerikai fánk alakjához.

A  tórusz felületére való pontillesztést az 1. képről indítva is szerkeszthetjük.  A lépéseket bemutató videó elérhető itt..

Továbbá fontos, hogy emlékezzünk arra, hogy a gömb bármely síkmetszete kör, csaknem minden esetben fog körnek látszani. Ha a metsző sík egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor a metszet vetülete ellipszis lesz.
Ha már a modern mászókákat hívtam segítségül, akkor megmutatom,hogy milyen volt a gyermekkorom játszótere. Ilyen gömbmászókán lógtunk, ha a rakétát a fiúk elfoglalták:

A hosszanti cikkek (olyanok,mint a narancsgerezdek) határai éppen a meridiánmetszetek, és néhány magasságban megvannak a paralelkörök is. A mászóka fokai pedig egyenes szakaszokkal íveket helyettesítettek.
Hasonló ötlet 48. oldal feladatának megoldást szemlélteti. És mi is a lényeg? Ha egy gömböt egy egyenessel el akarunk metszeni, akkor az egyenesre bárhogy is illesztünk síkot, akkor a gömb metszete éppen a keresett szúráspontokban metszi az egyenest.

Csak nem mindegy, hogy hogyan vesszük fel a síkot! Ha függőleges síkkal metszünk, akkor a metszet könnyen leforgatható. Az alábbi animált ábra éppen a szerkesztést mutatja be: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/kula-pr/img/anim-k-pr.gif 

Ebben az esetben kérdés:
Milyen magasan kell keresni a gömbből függőleges síkkal metszett  kör középpontját? Már az almás kép is mutatja, hogy a metszetek nem csúszkálnak el, le, hanem egy adott magasságban maradnak.

Hasznos segítség:

• Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat (IX. és X fejezet),melyeket elérthet ezen a  linken
  
• Gömb metszése vetítősíkkal + feladatlap
• Hasznos lista a forgásfelületek témakörhöz
• Rögzített gyakorlat 2021-ből

 

Fedélidomok (2023)

A fedélidomszerkesztés egy gyakorlatias témakör a síkok metszése és poliéderek áthatása alkalmazására. A feladatunk az lesz, hogy az épületek lefedésekor használatos tetősíkokat kialakítsuk.

Adottak az egy magasságban lévő ereszvonalak.
Feltételezzük, hogy az ereszvonalakra egyenlő hajlásszögű tetősíkokat illesztünk. A nálunk szokásos síkállás az amelyben a síkok a vízszintes síkkal 45 fokos szöget zárnak be. Mivel egyetlen gyakorlat erejéig foglalkozunk a témakörrel így csak az alapokkal foglalkozunk. A feladatok egyetlen vetületen megoldhatók, csak a felülnézetet fogjuk használni.
Ha a tető keresztmetszetét nézzük, akkor az előbb említett 45°-os szögnek annyi hatása van, párhuzamos ereszvonalak esetén a tetősíkok összemetsződéseként kapott gerinc fele akkora magasan lesz az ereszvonal fölött, mint amekkora az ereszvonalak távolsága volt.

Még egy fontos dolgot is észrevehetünk: felülről nézve a gerinc éppen félúton lesz az ereszvonalak között. Geometria nyelvén: középpárhuzamost látunk. A fenti ábrán az is látszik, hogy ha eltérnék a 45%-os hajlásszögtől, akkor csak a tető (gerinc) magasságán változtatnánk, de a gerinc vetülete továbbra is középpárhuzamosként látszana. De vajon mi a helyzet az egymáshoz valamilyen szögben csatlakozó ereszvonalak esetén. Mit látunk a a tetősíkok metszésvonalából az élgerinc és a vápa esetén? Erre mutatok egy példát, amikor az egyik feladatunk modelljét egy 3D nyomtató szeletelőprogramjában megnyitottam, és felszeleteltem:

Felülről nézve a tetősíkokat kirajzoló vonalak úgy látszanak, mintha az ereszvonalat belülről egy vastag filctollal újra és újra körberajzoltuk volna. A modellezésben az ilyen típusú vonalakat offset vonalaknak hívják. De miután az eresz vonaltól mindig ugyanolyan távolságra haladnak, a csúcsokban az irányváltások miatt mindig kirajzolják az élgerincek és vápák vonalát, melyek iránya mindig szögfelező állású lesz.

 

 

Letölthető anyagok

• Diasor   
• Munkafüzet2023  40-44. o.
• Fedélidom szerkesztés (segédlet)

További segédanyag

• Fedélidomok_hallgatói munkák
• Néhány feladat megoldása+1 lap 
• Gyakorló feladatok - fedélidom  
• Fedélidomok (lejátszási lista)
  

Gúlák és hasábok áthatása - 3. rész (2023)

Felhasznált korábbi ismeretek:

• Transzformáció, mellyel elérhető, hogy egy hasáb élei (oldallapjai) az új képsíkra merőlegesek legyenek. Ebben az új nézetben eldönthető, hogy hány pont határozza meg az áthatási töröttvonalat.
  
• Vetítősík és egyenes döféspontjának szerkesztése. A metszéspont az egyik képen azonnal látható, a másik kép rendezővel szerkeszthető.
• Síkra illeszkedő egyenes: a sík körvonalát két pontban metszi, és ezt a rendezők is mutatják.
• Síkok metszésvonala. Két közös pont által megadva, speciális helyzetekben is.

Letölthető anyagok:

• Diasor pdf-ben (67. oldaltól)
  
• Munkafüzet2023  38-39. oldala

Bevezetésként nézzünk egy nem túl bonyolult példát! Az alábbi ábrán egyik test sincs vetítő helyzetben:

(Forrás:bme.hu)

És látjuk a megoldást is: a vetítő helyzetet egyetlen transzformációval lehet elérni, amelyben a fekvő helyzetű hasáb oldalélei vetítőegyenesekké válnak. A transzformációt CSAK ez a hasáb fogja meghatározni, az x14 tengely merőleges a hasáb oldaléleinek első képére. Ezt követi a transzformáció végrehajtása, és ekkor kapjuk meg azt a kedvezőbb vetületet, amelyben látszik, hogy összesen hány pontot kell  megszerkesztenünk. Az I. és IV. kép felhasználásával az áthatás minden pontja megszerkeszthető, a II. képet a transzformáció visszafelé történő alkalmazásával szerkesztjük.

A feladatunk első lépése is a transzformáció lesz.

Magát a transzformációs lépéseket nem részletezném, mert már megtanultuk. A végeredmény azt mutatja, hogy a hasáb egyetlen háromszögként jelenik meg, amely körül látjuk a gúla vetületét.

Most lehet átnézni a teendőket:

• A hasáb mindhárom oldaléle (mint pontoknak látszó egyenesek) a gúla kontúrján belül van ---> élenként 2-2 metszéspontot kell szerkeszteni.
• A gúla MA és MB élei elkerülik a hasábot,csak az MC él metsz bele ---> 2 metszéspontot kell szerkeszteni. (Erre még később kitérünk, mert itt különlegesebb helyzet állt elő!)
• Tehát 6 + 2 pontot kell szerkeszteni az 1.képre is és a 2. képre is a IV. képből kiindulva.
• Összekötés: a szabály alapján az 1. képen is és a 2. képen is összekötjük a pontokat. 
• Láthatóság szerinti kihúzás

A lépésekhez a diasor lépéseit kell követni, néhány pillanatképek most ki is emelek:

• Metszés az MC egyenessel. Az 1. és IV. kép vonatkozásában ez az él nagyon meredeken fut, majdnem merőleges a az x14 tengelyre. Ebben az esetben nem tanácsos a rendezőket használni, hogy az1' és 2' pontokat megkeressük! Figyeljék csak a zöld rendező vonalakat! Nagyon közel futnak egymáshoz és nagyon kis szögben fogják metszeni az M'C' élt. Szinte biztos, hogy kézi szerkesztéssel elmozdulnak a pontok arról a helyről, ahol lenniük kellene. Ezt csak akkor lehetne észrevenni, amikor a 2. képeket is meghatároznánk, és a pontok nem lennének benne a hasábban.

• Inkább így oldjuk meg:

 

És végül a 2.képről rendezőket indítva jelöljük ki az 1' és 2' pontokat.

• A szerkesztés folytatására a következőket ajánlom:

 

• Fontos, hogy a fenti kezdésekkel a 3' és 4' pontok kétszer is meghatározásra kerülnek, DE NEM LESZ BELŐLÜK 2 DB! A b egyenesnek csak két közös pontja lehet a gúlával. Ha pontosan dolgoznak, akkor a két háromszög formájú metszet a 3' és 4' pontokban metszi egymást.

Hasonló feladat:

• Egy feladat megoldása, ahol a test lapjai színesek
• Ugyanennek a feladatnak a megoldása táblaképeken:

Síklapú testek áthatása - 2. rész (2023)

Az áthatási feladatok megoldási menete:

• Az egyik test éleivel a másik testet el kell metszeni. Célszerű a könnyen észrevehetőekkel kezdeni! Ha egy él belemetsz a másik testbe, akkor 2 metszéspontot keresünk függetlenül attól, hogy látszanak-e.
• A másik test éleivel az első test lapjait kell metszeni, ha egy él belemetsz a másikba, akkor itt is élenként 2-2 metszésponttal kell számolni.
• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja.
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

Letölthető anyagok/Segédanyagok:

• Diasor pdf-ben
• Munkafüzet2023 32-37. oldala
• Két hasáb áthatása lépésenként megmutatva
• Szemléltető videók ebben a lejátszási listában  találhatóak.

32. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

A témakör Bevezető feladatához képest a hasáb sokkal jobban bele van tolva a gúlába, se balról, se jobbról nem szakítja meg a kontúrt. Ha a kék nyilakat figyeljük, akkor 4 olyan helyet látunk, ahol a gúlaélek a hasáb oldallapjait metszik.

Ha a zöld nyilakat tekintjük, akkor a hasáb összes oldaléle belemetsz a gúlába, és így mindegyiket 2-2 metszéspont lesz majd. Egy kis gyors matek: 4 + 8 = 12 pontot kell megszerkeszteni.
A diasor leírásában a 2. és 3. lépés mutatja a hasábélekkel való metszést. Most is a hasáblapokat megnyújtjuk,hogy jó nagyon legyenek és ezzel készítünk egy-egy ferde metszetet a gúlából. Ne felejtsük el, hogy a ferde metszet már nem mutat szabályosságot, sőt az alsóbb esetben még az alapsíkban is belemetsz.

Ami nehezen szokott menni, a pontok összekötésének a sorrendje
Ehhez egy olyan segédábrát készítünk melyen mindkét test oldalsó felületeit egymásra fektetjük. Kezdjük a hasábbal! Ha a hasáb palást részét egy él mentén felvárjuk, akkor a vágás vonala a kiterítés bal és jobb oldalán is megjelenik. 

Vagyis a hasáb négy oldallapja négy sávval (azaz 5 egyenessel) szimbolizálható. Nekünk most a méretek nem kellenek,csak a sávok.
A gúla esetén is hasonló történik, azzal a különbséggel hogy oldallapok kihajtogatásával egy háromszögsorozatot kapunk. Most sem a méretek, sem a formák nem fontosak, ezért minden háromszöglap helyett sávokká formázzuk azokat. Így a négy egymáshoz csatlakozó háromszög helyett négy sávot jelenítünk meg. Itt is fontos, hogy az az él,ami mentén felvágtuk a palástot, mindkét szélen megjelenik. A vonalak egy körüljárásnak megfelelően követik egymást, hogy biztosan egy lapot jelenthessenek.

És végül tegyük egymásra ezt a két sávrendszert:

Mire lesz ez jó nekünk? Minden megszerkesztett pontot bejelölünk majd, kétféle dolgot kell megnézni: melyik élen van és melyik lapon (melyik két egyenes között) helyezkedik el. Mutatom az első pontnál, hogy mire kell figyelni. Az 1-es pont a GD oldalél és az ab lap metszéspontja. Ezt a tényt úgy érdemes átfogalmazni, hogy a GD élen van az ab egyenesek között. Stb. egyesével minden pont belekerül. Ezt minden lépésnél mutatom a diában.

Mi történik akkor, ha egy olyan éllel metszünk, amely mentén a palástot felvágtuk? Olyanra gondolok, mint a mostani példában az a egyenes. Akkor az a egyenes kétszer szerepel az összekötési ábrában is, így a pontot is kétszer kell jelölni mindkét oldalon: 

És végül az összekötés szabálya: Két pont a hálóban akkor köthető össze, ha ugyanannak a kis négyzetnek az oldalán van. Így, ha egy pontból elindulunk, akkor oda vissza fogunk érni. Ha vannak még kimaradó pontok,akkor azok legalább hárman lesznek! Most két teljes "körünk"van.

A láthatósághoz a vagy egy összeállítás Segédábrákból (5.-7. oldalak), melyekből egyet mutatok mintaként:

 

 

 35. oldal feladata:

Forgatható modellek: unió és különbség

Tevékenységlista erre a feladatra megfogalmazva:

• A fekvő helyzetű hasáb vízszintes éleivel el kell metszeni az álló hasáb oldallapjait. Ezek a metszéspontok az 1. képen vehetők észre. Most két él metsz bele az álló hasábba, élenként 2-2 metszéspontot fogunk kapni.A 2. képek rendezővel szerkeszthetők. (A feladat vetítő sík metszése egyenessel.)

• Most az álló test éleivel kell belemetszeni  a fekvő hasábba. Két ilyen függőleges élt látunk: az 1-es és a 2-est. Mindkét egyenesen 2-2 metszéspontot kapunk.

        Ehhez a két egyenesre illeszthető síkot hívhatjuk segítésül. Az állóhasáb 1-2-es oldallapját

balra-jobbra meghosszabbítjuk, hogy a fekvőhasábot kettévághassa. Ezt szemléleti ez az ábra:

A függőleges élek és a kék hasáb metszetének közös pontjai kellenek.

• Az összekötési sorrend meghatározása: az alapszabály az, hogy mindkét testkörüljárásának meg kell felelni. Ha egy pontból elindulunk, akkor oda mindig visszavisz az áthatási töröttvonal. Ehhez segédábrát fogunk készíteni, de ha valaki meglátja a lényeget, akkor segédábra nélkül is csinálhatja. Fontos, hogy a fenti forgatható ábrán már néhány összeköttetés látható!
• A láthatóság jelölése vagy aszerint, hogy a két test egyetlen testté válik, vagy úgy, hogy ez egyik testet eltávolítjuk és ezzel a másik testen csonkolást hajtunk végre.

További segítség:

•  Megoldott feladat, amely nagyon hasonlít a mostanihoz: